特征标理论

在数学里，尤其是在群表示理论里，一个群表示的特征标（character）是指一个将群的每个元素连结至表示空间这个域内的每个元素之函数。特征标蕴藏着群的许多重要性质，且因此可以用来做群的研究。

特征标理论是对有限简单群分类的一个有重要的工具。在范特-汤普逊定理证明接近一半的地方会有一个用到特征标的复杂计算。另外还有一些较简单但一样重要的结论需用在特征标理论，如伯恩赛德定理及理查·布劳尔和铃木通夫所证出之定理，此定理表示有限简单群不会有一个为广义四元群的西洛2-子群。

设为一个域上的有限维向量空间且设${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:<!--\; :\; -->G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$于上的表示。则ρ的特征标即为如下给定之函数

其中${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{r}}$的维表示且1为的单位元时，

和特征标群的情况不同，一个群的特征标通常不会自己“形成”一个群。

在调和分析中，通常定义局部紧阿贝尔拓扑群 ${\displaystyle G}$的两个表示，则有下列的等式成立：

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$在紧致形式时的有用资讯。每一行标记着一个不可约特征标且包含着此一特征标在每个的共轭类上的值。

下面是有三个元素之循环群₃的特征标表：

其中的为一个原三次单位根。

特征标表总会是正方的，因为不可约表示的数目总会相等于共轭类的数目。特征标表的第一个行总会是1，其对应至群的当然表示上。

有关特征标表最重要的性质之一为其在行与列上都会有着正交关系。

对特征标(即对特征标表中的行)的内积由下给出：

对于此一内积而言，不可约特征标两两正规正交：的不可约特征标${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_i}$的共轭类之大小。

此一正交关系可以帮助许多的运算，如：

一个群的某些性质可以由其特征表中推导出来：

特征标表通常不会将群分至同构：例如，四元群和有8个元素的二面体群₄会有同样的特征标表。

对有限群之特别例子，详见有限群表示理论。

一维表示的特征标会形成一个特征标群，其和数论中有着很重要的关连。