金融学上有所谓72法则、71法则、70法则和69.3法则,用作估计将投资倍增或减半所需的时间,反映出的是复利的结果。
计算所需时间时,把与所应用的法则相应的数字,除以预料增长率即可。例如:
使用72作为分子是因为它有较多因数,容易被整除。它的因数有1、2、3、4、6、8、9和12。不过,视乎增减率及时期,其他数值会较为合适。
使用72作为分子足够计算一般息率(由6至10%),但对于较高的息率,准确度会降低。
对于低息率或逐日复利,69.3会提供较准确的结果(因为ln(2)约莫等于69.3%,参见下面“原理”)。对于少过6%的计算,使用69.3也会较为准确。
对于高息率,较大的分子会较理想,如若要计算20%,以76除之得3.8,与实际数值相差0.002,但以72除之得3.6,与实际值相差0.2。若息率大过10%,使用72的误差介乎2.4%至−14.0%。若计算涉及较大息率(r),以作以下调整:
若计算逐日复息,则可作以下调整:
E-M法则对使用69.3或70(但非72)时的计算作出修正,扩大计算的应用范围。如在69.3法则使用E-M修正,计算0-20%的增减率时也会相当准确,就算69.3本来只适合计算0-5%的息率。
E-M法则公式如下:
举个例,若利率为18%,69.3法则得出的将金额倍增的年期为3.85,但通过E-M法则,乘以200/(200-18),得4.23年,较接近实际年期4.19。
Padé近似式(Padé approximant)给出的结果更为准确,但算式则较为复杂:
以下表格比较了以上提及各法则的计算结果:
定期复利的将来值(FV)为:
当中为现在值、为期数、为每一期的利率。
当该笔投资倍增,则 = 2。代入上式后,可简化为:
解方程式,为:
若数值较小,则ln(1+)约等于(这是泰勒级数的第一项);加上ln(2) ≈ 0.693147,于是:
连续复利的计算较为简单:
可得
可得
右项上下乘以100,然后以70作为69.3147的近似值: