隶属函数

隶属函数（membership function）也称为归属函数或模糊元函数，是模糊集合中会用到的函数，是一般集合中指示函数的一般化。指示函数可以说明一个集合中的元素是否属于特定子集合。一元素的指示函数的值可能是0或是1，而一元素的隶属函数会是0到1之间的数值，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”（degree of truth）。

例如质数为一集合，整数3属于质数，其指示函数为1，整数4不属于质数，其指示函数为0。但针对模糊集合，可能不会有如此明确的定义，假设胖子是模糊集合，可能体重80公斤的人其隶属函数为0.9，体重70公斤的人其隶属函数为0.8。

隶属函数数值是在0到1之间，看似类似几率，但两者是不同的概念。

隶属函数最早是由卢菲特·泽德在1965年第一篇有关模糊集合的论文中提及，他在模糊集合的论文中，提出用值域在0到1之间的隶属函数，针对定义域中所有的数值定义。

针对集合${\displaystyle X}$，集合${\displaystyle X}$上的隶属函数是将集合${\displaystyle X}$映射到单位实数区间${\displaystyle }$的函数。

${\displaystyle X}$集合上的隶属函数对应${\displaystyle X}$集合中的模糊子集。对应模糊集合${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}}$的隶属函数一般会用${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A}$来表示。针对集合中的元素${\displaystyle X}$，${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A(x)}$的数值称为${\displaystyle x}$对应模糊集合${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}}$的隶属度，表示符合模糊集合${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}}$的程度。0表示元素${\displaystyle x}$不是模糊集合的元素，1表示元素${\displaystyle x}$是模糊集合的元素，0到1之间的值表示此元素部分符合模糊集合。

有时会用一个更通用的定义，隶属函数的值可以是任意的固定代数或是数学结构中取值${\displaystyle L}$，一般会要求${\displaystyle L}$至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在之间的隶属函数此时会称为-值隶属函数。

隶属函数的一个应用是在决策理论中的容度（capacity）。

在决策理论中，容度定义为函数${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$，其定义域S是某个集合的子集，值域为${\displaystyle }$，函数${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$满足集合定义上的单调而且正规化（也就是${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})=0,\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=1}$）。这是广义的几率量测（英语：Probability measure），其中可数可加性的概率公理不一定要成立。容度用来表示某一事件可能性的量测，而特定结果下，其容度的期望值可以对容度作Choquet积分（英语：Choquet integral）求得。