一一对应

数学中，一个由集合 X {displaystyle X} 映射至集合 Y {displaystyle Y} 的函数，若对每一在 Y {displaystyle Y} 内的 y {displaystyle y} ，存在唯一一个在 X {displaystyle X} 内的 x {displaystyle x} 与其对应，则此函数为双射函数。换句话说， f {displaystyle f} 是双射的，如果其为两集合间的一一对应。即，同时为单射和满射。例如，由整数集合 Z {displaystyle mathbb {Z} } 至 Z {displaystyle mathbb {Z} } 的函数 succ {displaystyle operatorname {succ} } ，其将每一个整数 x {displaystyle x} 连结至整数 succ ⁡ ( x ) = x + 1 {displaystyle operatorname {succ} (x)=x+1} ，这是一个双射函数；再看一个例子，函数 sumdif {displaystyle operatorname {sumdif} } ，其将每一对实数 ( x , y ) {displaystyle (x,y)} 连结至 sumdif ⁡ ( x , y ) = ( x + y , x − y ) {displaystyle operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)} ，这也是个双射函数。一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或排列。后者一般较常使用在 X = Y {displaystyle X=Y} 时。以由 X {displaystyle X} 至 Y {displaystyle Y} 的所有双射组成的集合标记为 X ↔ Y {displaystyle Xleftrightarrow Y} 。双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。一函数 f {displaystyle f} 为双射的当且仅当其逆关系 f − 1 {displaystyle f^{-1}} 也是个函数。在这情况， f − 1 {displaystyle f^{-1}} 也会是双射函数。两个双射函数 f : X ↔ Y {displaystyle f:Xleftrightarrow Y} 及 g : Y ↔ Z {displaystyle g:Yleftrightarrow Z} 的复合函数 g ∘ f {displaystyle gcirc f} 亦为双射函数。其反函数为 ( g ∘ f ) − 1 = ( f − 1 ) ∘ ( g − 1 ) {displaystyle (gcirc f)^{-1}=(f^{-1})circ (g^{-1})} 。另一方面，若 g ∘ f {displaystyle gcirc f} 为双射的，可知 f {displaystyle f} 是单射的且 g {displaystyle g} 是满射的，但也仅限于此。一由 X {displaystyle X} 至 Y {displaystyle Y} 的关系 f {displaystyle f} 为双射函数当且仅当存在另一由 Y {displaystyle Y} 至 X {displaystyle X} 的关系 g {displaystyle g} ，使得 g ∘ f {displaystyle gcirc f} 为 X {displaystyle X} 上的恒等函数，且 f ∘ g {displaystyle fcirc g} 为 Y {displaystyle Y} 上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。若 X {displaystyle X} 和 Y {displaystyle Y} 为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。