高斯积分

高斯积分（英语：Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数（−2）在整个实数线上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏。

高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子基态的概率密度；在路径积分公式中，谐振子的传播子；以及统计力学中的配分函数，以上的计算都要用到这个积分。

我们可以通过Risch算法证明误差函数不具有初等函数形式；尽管如此，高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。虽然不定积分${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->e^{-<!--\; -\; -->x^2}dx}$为自然数时，沃利斯积分定义为：

因此有${\displaystyle \frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}}$的。上式被用于研究多元正态分布。

同样，

这里的 σ 表示的是有序集 {1, ..., 2} 的不同排列。等式右边的系数是对 ${\displaystyle N}$} 中所有的组合的求和（the sum over all combinatorial pairings of {1, ..., 2} of copies of −1）。

或者，

以上积分中的 ${\displaystyle f}$ 是解析函数，且函数值的增长必须满足某些边界条件以及另一些特定要求。微分算子的幂可以理解为幂级数。

虽然泛函积分没有严格的定义，但是我们仍然可以依照有限维的情况“定义”高斯泛函积分。 然而，${\displaystyle (2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$ 无穷大的问题依然存在，且大部分的泛函行列式（英语：Functional determinant）也是无穷大的。如果只考虑比例：

则可以解决这个问题。在德维特标记法（英语：DeWitt notation）下，此公式与有限维的情况一致。

如果A是一个对称的正定矩阵，则有（假设均为列向量）

其中，n 为正整数，“!!”表示双阶乘。这类积分的一种简单的计算方式是应用莱布尼兹积分规则（英语：Leibniz integral rule）对参数进行微分：

也可以先分部积分，然后找出递推关系之后求解。