自同构

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:47:48 #态射,抽象代数,对称

数学上,自同构是从一个数学对象(英语:mathematical object)到自身的同构,可以看为这对象的一个对称,将这对象映射到自身而保持其全部结构的一个途径。一个对象的所有自同构的集合是一个群,称为自同构群,大致而言,是这对象的对称群。

自同构的精确定义,依赖于“数学对象”的种类,及这对象的“同构”的准确界定。可以定义这些概念的最一般情形,是在数学的一个抽象分支,称为范畴论。范畴论是研究抽象对象和这些对象间的态射。

在范畴论中,自同构是一个自同态(即是一个对象到自身的一个态射)而同时为(范畴论所定义的)同构。

这是一个很抽象的定义,因为范畴论中,态射不一定是函数,对象不一定是集合。不过在更具象的情形中,对象会是有附加结构的集合,而态射会是保持这种结构的函数。

例如在抽象代数中,一个数学对象是代数结构,如群、环、向量空间等。一个同构就是双射的同态(同态按代数结构而定, 例如群同态、环同态、线性算子)。

恒等态射(恒等映射)在某些情况称为平凡自同构。相对地,其他(非恒等)自同构称为非平凡自同构。

如果一个对象的自同构组成一集合(而不是一个真类)那么这些自同构以态射复合运算组成一个群。这个群称为的自同构群。可以直接检查这的确是一个群:

在一个范畴中的一个对象的自同构群,记为Aut(),如果内文明显看出该范畴,可简记为Aut()。

群自同构的一个最早期的例子,是爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的Icosian calculus(英语:Icosian calculus)中,他发现了一个2阶的自同构,写道:

使得 μ {\displaystyle \mu } 的每个元素,以共轭是一个运算 : → ,定义为() = −1(或−1;用法各异)。易知以共轭是一个群自同构。内自同构组成 Aut()的一个正规子群,记作Inn()。

其他的自同构称为外自同构。商群Aut() / Inn()通常记为Out();非平凡元素是包含外自同构的陪集。

在任何有幺元的环或代数中的可逆元,可以同样定义内自同构。对于李代数,定义有少许不同。

相关

  • 附器附器是指从躯体突出的部分,或任何生物的身体部分的自然伸延部分,如脊椎动物的四肢。无脊椎动物生物学的范畴中,附器是一个一般词汇,意指从任何体节伸延出来的同源身体部分。这些
  • 尼尔斯·艾崔奇尼尔斯·艾崔奇(Niles Eldredge,1943年8月25日-)是一位美国古生物学家。曾经在1972年与史蒂芬·古尔德一同发表疾变平衡(punctuated equilibrium)理论。
  • 尤文氏肉瘤尤文氏肉瘤(英语:Ewing's sarcoma)又称为尤因肉瘤、未分化网状细胞瘤。原于骨髓内的原始细胞,是常见骨的恶性肿瘤。系美国的病理学家詹姆斯·尤因(James Ewing)于1921年首先报道
  • 卡尺卡尺也称卡钳,是用来测量物体两点或两对立面(如内外径、物体厚度等)之间距离用的一种测量工具。最简单的卡尺为圆规状,顶部有向外或向内的尖端。卡尺的顶端可以手动调整,直至与所
  • 缓解缓冲溶液(德语:Pufferlösung;英语:buffer solution;法语:solution tampon)指由“弱酸及其共轭碱之盐类”或“弱碱及其共轭酸之盐类”所组成的缓冲对配制的,能够在加入一定量其他物
  • 结构力学结构力学是力学的一个分支,主要研究对象是由杆件组成的结构。它是机械专业和土木专业学生必修的学科,应用于建筑业和机械制造业等领域。结构力学研究的内容包括结构的组成规则
  • 圣迈克尔岛圣迈克尔岛是美国的岛屿,由阿拉斯加州负责管辖,位于白令海,长15公里、宽10公里,岛上的两座城镇分别在东面和西北面,该岛在1833年被命名。坐标:63°28′30″N 162°09′42″W / 63.
  • 葡萄牙摄政王约翰若昂六世,又译約翰六世,(1767年5月13日-1826年3月10日),葡萄牙和阿尔加维国王(1816年-1826年)、巴西国王(1816年-1822年 / 1825年)和自称的巴西皇帝(1825年-1826年)。1767年5月13日生于
  • 中国历史年表中国历史年表,是依年份列出中国历史上的重大事件。在朝代更迭之间,执政权经常不会立即转移,朝代结束的下一年,并非代表该年份为朝代的真正起始点。、
  • 药彦稠药彦稠(?-934年),字象先,沙陀三部落人,五代后唐明宗时任静难军节度使。祖药迁,父药通。药彦稠初为骑将,明宗即位,拜澄州刺史。天成三年(928年)四月,义武节度使王都反于定州(今河北定县),次年