自同构

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:10:45 #态射,抽象代数,对称

数学上,自同构是从一个数学对象(英语:mathematical object)到自身的同构,可以看为这对象的一个对称,将这对象映射到自身而保持其全部结构的一个途径。一个对象的所有自同构的集合是一个群,称为自同构群,大致而言,是这对象的对称群。

自同构的精确定义,依赖于“数学对象”的种类,及这对象的“同构”的准确界定。可以定义这些概念的最一般情形,是在数学的一个抽象分支,称为范畴论。范畴论是研究抽象对象和这些对象间的态射。

在范畴论中,自同构是一个自同态(即是一个对象到自身的一个态射)而同时为(范畴论所定义的)同构。

这是一个很抽象的定义,因为范畴论中,态射不一定是函数,对象不一定是集合。不过在更具象的情形中,对象会是有附加结构的集合,而态射会是保持这种结构的函数。

例如在抽象代数中,一个数学对象是代数结构,如群、环、向量空间等。一个同构就是双射的同态(同态按代数结构而定, 例如群同态、环同态、线性算子)。

恒等态射(恒等映射)在某些情况称为平凡自同构。相对地,其他(非恒等)自同构称为非平凡自同构。

如果一个对象的自同构组成一集合(而不是一个真类)那么这些自同构以态射复合运算组成一个群。这个群称为的自同构群。可以直接检查这的确是一个群:

在一个范畴中的一个对象的自同构群,记为Aut(),如果内文明显看出该范畴,可简记为Aut()。

群自同构的一个最早期的例子,是爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的Icosian calculus(英语:Icosian calculus)中,他发现了一个2阶的自同构,写道:

使得 μ {\displaystyle \mu } 的每个元素,以共轭是一个运算 : → ,定义为() = −1(或−1;用法各异)。易知以共轭是一个群自同构。内自同构组成 Aut()的一个正规子群,记作Inn()。

其他的自同构称为外自同构。商群Aut() / Inn()通常记为Out();非平凡元素是包含外自同构的陪集。

在任何有幺元的环或代数中的可逆元,可以同样定义内自同构。对于李代数,定义有少许不同。

相关

  • 列奥尼达一世列奥尼达一世(希腊文: .mw-parser-output .Polytonic{font-family:"SBL BibLit","SBL Greek","EB Garamond","EB Garamond 12","Foulis Greek",Cardo,"Gentium Plus",Gentium
  • 西晋西晋(266年2月4日-316年12月11日),是中国古代魏晋南北朝时期的一个大一统的王朝,乃于265年由晋武帝司马炎取代曹魏政权而建立。晋武帝凭借父祖余荫和世族支持而得位。国号为“晋
  • 雾凇雾凇,也称树挂或雾冻,是一种在天气寒冷的地方出现的白色不透明晶体。在寒冷的北方,临近地表水(河流,湖泊等)的地方,由于水从湖面蒸发,在空中形成水雾,而又因为寒冷的空气,雾中的水粒子
  • 马尔默大学马尔默大学(瑞典语:Malmö universitet),是一所位于瑞典第三大城市马尔默的综合性大学,建立于1998年7月1日。
  • 伯利兹伯利兹的历史可以追溯到几千年前。玛雅文明至少在三千年前存在于今尤卡坦半岛的低地地区以及向南的高地。该文明位于今墨西哥东南部、危地马拉、洪都拉斯和伯利兹。在欧洲人
  • 汤桶读法汤桶读法(日语:湯桶読み/ゆとうよみ Yutō yomi ?),指日语中如“汤桶”(ゆトウ)一般,某词的前半部用训读,后半部用音读的现象。有些起源于误读,但在使用中逐渐成为固定读法。例如,合
  • 上海白菜上海白菜,又叫上海青、苏州青、青江菜、青姜菜、小棠菜、青梗白菜、青江白菜、汤匙菜,是上海一带的华东地区最常见的小白菜耐热品种。江浙一带又称其为“青菜”或“小青菜”。
  • 营房营房,或者称军营,是一种供军人居住的房屋。它主要是可以让许多军事人员居住、生活在一起,从这个意义上讲营房有点类似宿舍,不过营房内居住的人员属性不同。通常都是让隶属同一军
  • 普兰斯特·马福德普兰斯特·马福德(Prentice Mulford,1834–1891),为美国知名的幽默作家,除此之外,也是新思想运动的提倡者。普兰斯特·马福德生于纽约萨格港,1856年时,航行到加州并在那里住了16年。
  • 吴凌云 (义军首领)吴凌云(?-1863年),原名吴元清,清末壮族民变领袖。吴凌云是新宁州(今广西壮族自治区扶绥县)渠芦村的一位富豪,曾考取过秀才功名。后因与天地会密切来往而被人告发,逮捕下狱。1852年,吴凌