自同构

✍ dations ◷ 2025-04-05 13:37:36 #态射,抽象代数,对称

数学上,自同构是从一个数学对象(英语:mathematical object)到自身的同构,可以看为这对象的一个对称,将这对象映射到自身而保持其全部结构的一个途径。一个对象的所有自同构的集合是一个群,称为自同构群,大致而言,是这对象的对称群。

自同构的精确定义,依赖于“数学对象”的种类,及这对象的“同构”的准确界定。可以定义这些概念的最一般情形,是在数学的一个抽象分支,称为范畴论。范畴论是研究抽象对象和这些对象间的态射。

在范畴论中,自同构是一个自同态(即是一个对象到自身的一个态射)而同时为(范畴论所定义的)同构。

这是一个很抽象的定义,因为范畴论中,态射不一定是函数,对象不一定是集合。不过在更具象的情形中,对象会是有附加结构的集合,而态射会是保持这种结构的函数。

例如在抽象代数中,一个数学对象是代数结构,如群、环、向量空间等。一个同构就是双射的同态(同态按代数结构而定, 例如群同态、环同态、线性算子)。

恒等态射(恒等映射)在某些情况称为平凡自同构。相对地,其他(非恒等)自同构称为非平凡自同构。

如果一个对象的自同构组成一集合(而不是一个真类)那么这些自同构以态射复合运算组成一个群。这个群称为的自同构群。可以直接检查这的确是一个群:

在一个范畴中的一个对象的自同构群,记为Aut(),如果内文明显看出该范畴,可简记为Aut()。

群自同构的一个最早期的例子,是爱尔兰数学家威廉·哈密顿在1856年给出。在他的Icosian calculus(英语:Icosian calculus)中,他发现了一个2阶的自同构,写道:

使得 μ {\displaystyle \mu } 的每个元素,以共轭是一个运算 : → ,定义为() = −1(或−1;用法各异)。易知以共轭是一个群自同构。内自同构组成 Aut()的一个正规子群,记作Inn()。

其他的自同构称为外自同构。商群Aut() / Inn()通常记为Out();非平凡元素是包含外自同构的陪集。

在任何有幺元的环或代数中的可逆元,可以同样定义内自同构。对于李代数,定义有少许不同。

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