Horofunction

数学上，horofunction是定义在一个完备度量空间上的函数，是上的距离函数的极限。horofunction是米哈伊尔·格罗莫夫将Busemann function（英语：Busemann function）推广而引入的概念。

设(,)为完备度量空间。取基点${\displaystyle o\in <!--\; \in \; -->X}$的连续函数空间()中。在空间()中赋以sup范数，建立${\displaystyle X\to <!--\; \to \; -->C(X)}$中的有界集上一致收敛作为拓扑。把C(X)投射到C'，得到从到${\displaystyle C^{\prime }}$。

设是可数紧致的。定义${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}_h}$在${\displaystyle C^{\prime }}$的horofunction边界（horofunction boundary）。一个连续函数${\displaystyle h\in <!--\; \in \; -->C(X)}$投射到${\displaystyle C^{\prime }}$是在${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{h}X}$是以为中心的horofunction。集合${\displaystyle h^{-<!--\; -\; -->1}(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},c)\in <!--\; \in \; -->X}$称为开horoball，而${\displaystyle h^{-<!--\; -\; -->1}(c)}$则称为horosphere。