Horofunction

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:40:57 #度量几何

数学上,horofunction是定义在一个完备度量空间上的函数,是上的距离函数的极限。horofunction是米哈伊尔·格罗莫夫将Busemann function(英语:Busemann function)推广而引入的概念。

设(,)为完备度量空间。取基点 o X {\displaystyle o\in X} 的连续函数空间()中。在空间()中赋以sup范数,建立 X C ( X ) {\displaystyle X\to C(X)} 中的有界集上一致收敛作为拓扑。把C(X)投射到C',得到从到 C {\displaystyle C'}

设是可数紧致的。定义 X ¯ h {\displaystyle {\overline {X}}_{h}} C {\displaystyle C'} 的horofunction边界(horofunction boundary)。一个连续函数 h C ( X ) {\displaystyle h\in C(X)} 投射到 C {\displaystyle C'} 是在 h X {\displaystyle \partial _{h}X} 是以为中心的horofunction。集合 h 1 ( , c ) X {\displaystyle h^{-1}(-\infty ,c)\in X} 称为开horoball,而 h 1 ( c ) {\displaystyle h^{-1}(c)} 则称为horosphere。

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