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雅可比三重乘积

✍ dations ◷ 2025-07-04 10:30:39 #

雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔·雅可比在对theta函数和q-模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式，形如

其中 $q<|1|$ $q<|1|$ 在单位圆盘内，而 $z\neq 0$ $z\neq 0$ 非零。它也可以用Q-函数或者q-珀赫哈默尔符号描述，

考虑恒等式

立刻就有

考虑令 $u=st$ $u=st$ ，则原式可改写为

因此

利用对称性，令 $s=1/s$ $s=1/s$ ，又有

再考虑对 $k {\displaystyle k}$ $k$ 的双边无穷求和，

因此，进一步地

令 $q=q^{2}$ $q=q^{2}$ 且 $sq=z$ $sq=z$ ，恒等式得证。

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