递进阶乘与递降阶乘

在数学中，阶乘幂（英语：Factorial power）是基于自然数数列积的一种运算，分为递进阶乘（英语：Rising factorial）和递降阶乘（英语：Falling factorial），或称上升阶乘和下降阶乘，

递进阶乘与递降阶乘有多种书写方式。

由里奥·珀赫哈默尔（英语：Leo August Pochhammer）引进的珀赫哈默尔符号（Pochhammer symbol）是常用的一种，分别为${\displaystyle x^{(n)}}$ 个连续整数的积，它定能被 整除，即

当 =4 ，递进阶乘与递降阶乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

递进阶乘与递降阶乘遵从一个类似二项式定理的规则:

其中系数为二项式系数。

因为递降阶乘是多项式环的基础，我们可以将递降阶乘的积表示为递降阶乘的线性组合：

等式右边的系数则为二项式系数。

阶乘幂能一般化至任意函数和公差：

使用这个记号，原来的递进阶乘与递降阶乘便记作 ${\displaystyle k/1}$ 和 ${\displaystyle k/-<!--\; -\; -->1}$ 。

差分方程里常使用递降阶乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，递降阶乘 ${\displaystyle x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{k}}}$ 替代微分中的 ${\displaystyle x^k}$ 例如：

与

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。