笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系（英语：Cartesian coordinate system，也称直角坐标系）在数学中是一种正交坐标系，由法国数学家勒内·笛卡尔引入而有此名。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这个代数公式。例如：直线可以用标准式（一般式）${\displaystyle ax+by+c=0}$）。有关笛卡尔坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。笛卡尔在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和 y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O，既有“零”的意思，又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡尔平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地，x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对调的性质有关。

为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为${\displaystyle (x,y)}$, )。就是说，如果所有点的初始坐标是(, )，在平移之后它们的坐标将是：

要绕原点逆时针旋转一个图形${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$,)替代为坐标(,)，这里有：

因此：

${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime })=((x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),(x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+y\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})).}$, )，则(−, )是它跨第二坐标轴（y轴）的反射的坐标，如同这个线是个镜子。类似的，(, −)是它的跨第一个坐标轴（x轴）的反射的坐标。一般的说，跨过原点与x轴夹角为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$, )替代为坐标(′,′)，这里有：

因此：

${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime })=((x\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+y\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),(x\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->y\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})).}$是一个2×2正交矩阵，而 = (₁, ₂)是任意的数值有序对；也就是：

这里的

将是正交的，矩阵必须有正交的有欧几里得长度1的行，就是：

并且：

这等价于说乘以它的转置矩阵必须是单位矩阵。如果这些条件不成立，则公式描述的是这个平面的更一般的仿射变换，假如的行列式不是零的话。

公式定义了平移，当且仅当是单位矩阵。变换是绕某个点的旋转，当且仅当是旋转矩阵，这意味着：

要得到反射或滑移反射需要：

假定不使用平移，变换可以通过简单将有关的变换矩阵相乘来组合起来。

表示笛卡尔坐标的坐标变换的另一种方式是通过仿射变换。在仿射变换中，增加了一个额外维度而所有点对这个额外维度给出数值1。这么做的好处是点平移可以在矩阵的最后列中指定。在这种方式下，所有欧几里得变换都可处理成矩阵点乘法。仿射变换给出为：

使用仿射变换，多个包括平移的不同欧几里得变换，可以简单的通过把它们对应的矩阵相乘而组合起来。

仿射变换的不是欧几里得移动的一个例子是缩放。要使一个图形变大或变小，等价于对所有点的笛卡尔坐标乘以同一个正数。如果最初图形的点的笛卡尔坐标是(, )，缩放后的图形的对应点有坐标：

如果大于1，图形变大；如果在0与1之间，图形变小。

错切变换将平压矩形的对边从而形成平行四边形。水平错切定义为：

垂直错切定义为：

直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。称包含y-轴的直线为y-线。在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。

通常，我们选择的取向是，正值的x-轴横地指向右方，正值的y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向、标准取向或右手取向。

右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从x-轴指向y-轴。

另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向或左手取向：将一只半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从y-轴指向x-轴。

不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。

直角坐标系的x-轴、y-轴与z-轴必须相互垂直。称包含z-轴的直线为z-线。在三维空间里，当我们设定了x-轴、y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了z-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在z-线以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直，然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的x-轴、y-轴与z-轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

左侧示意图展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。平行于xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从z-轴前面经过，表示从x-轴往y-轴的旋转方向。

采用直角坐标系，在三维空间里，任何一点P都可以用向量来表示。我们可以想像向量为一支羽箭，其箭尾在原点，箭锋在点P。假若点P的向量是${\displaystyle \mathbf{r}}$，直角坐标是${\displaystyle (x,y,z)}$。那么，

其中，单位向量${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{i}}}$，${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{j}}}$与${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}}$分别指向x-轴，y-轴，与z-轴指向的正无穷值方向。