欧拉-马斯刻若尼常数

欧拉-马斯刻若尼常数是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值：

它的近似值为${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->0.577215664901532860606512090082402431042159335}$中定义。欧拉曾经使用${\displaystyle C}$作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼（英语：Lorenzo Mascheroni）引入了${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。

${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1-<!--\; -\; -->\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k\frac{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->{\log }_2<!--\; \; -->k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{k+1}}$.

${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\sqrt{k}{\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}^2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{9}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{15}\right)+\dots <!--\; \dots \; -->}$

${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k-<!--\; -\; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\sqrt{k}{\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}^2}{k^2\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\sqrt{k}{\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{5^2}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{7^2}+\frac{4}{8^2}\right)+\frac{1}{3^2}\left(\frac{1}{{10}^2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{6}{{15}^2}\right)+\dots <!--\; \dots \; -->}$

${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$的连分数展开式为：