完美图定理

✍ dations ◷ 2025-06-30 16:29:36 #图论,完美图

在图论中,完美图定理(由洛瓦兹·拉兹洛证明László Lovász (1972a, 1972b))断言:一个无向图是完美的当且仅当其补图也是完美的。这个结论一度是Claude Berge(英语:Claude Berge)提出的猜想。它有时也被称为弱完美图定理,以和强完美图定理作区分。强完美图定理通过禁止导出子图来刻画完美图。

一个完美图是具有下述性质的无向图:在其每个导出子图中,最大团的顶点数都等于对该导出子图的着色的颜色数的最小值。完美图包括了很多重要类型的图,例如二分图、弦图和可比图(英语:comparability graph)。

一个图的补图在某两个顶点之间连一条边当且仅当原图在这两个顶点之间没有连边。从而原图中的团成为其补图中的独立集,而原图的一个染色成为其补图的一个团覆盖。

完美图定理断言:完美图的补图也是完美的。

等价地,在完美图中,最大独立集的顶点数等于其团覆盖中团个数的最小值。

令是一个长度为大于3的奇数的循环图(洞),则G的任何染色需要至少3种颜色,但G不含有三角形,所以它不是完美的。由完美图定理,G的补图(一个奇数长度的反洞)肯定也不是完美的。如果G是一个长度为5的圈,则它是一个自补图(英语:Self-complementary graph),但此性质对更大的奇数长度不再成立,而对于奇数个顶点的反洞计算其团数和色数也不像对于奇数个顶点的循环图那么容易。强完美图定理指出,奇数长度的洞和反洞是完美图的最小的禁止导出子图。

在一个非平凡的二分图中,由定义染色所需的颜色数最小是2,而由于二分图中不含有三角形,其团数也是2。而二分图的任何导出子图还是二分图。所以二分图是完美的。在有n个顶点的二分图中,一个最小团覆盖需要一个最大匹配加上另一些团,每个对应于一个未匹配顶点,其中团的个数等于n-M,这里M是最大匹配的边数。于是在这个例子中完美图定理可以推出柯尼希定理 (图论),即有n个顶点的二分图的最大独立集的顶点数也是n-M

Chudnovsky等人(2006)得到的强完美图定理断言一个图是完美的当且仅当其所有导出子图和它们的补图都不是长度为大于等于5的奇数的循环图。由于此条件在取补图后不变,强完美图定理可以直接推出(弱)完美图定理。

Cameron, Edmonds & Lovász(1986)证明,如果一个完全图的所有边被分成三个导出子图,使得任何三个顶点都在其中一个导出子图中连通,且两个导出子图是完美的,则第三个导出子图必然也是完美的。完美图定理是这个结果在其中一个导出子图是空图时的特例。

相关

  • 生命演化历程生命演化历程纪录地球上生命发展过程中的主要事件。本条目中的时间表,是以科学证据为基础所做的估算。生物演化指生物的族群从一个世代到另一个世代之间,获得并传递新性状的过
  • 赛特赛特(Set,也作Seth,Setekh等),又名西德,在埃及神话中最初是力量之神,战神,风暴之神,沙漠之神以及外陆之神。他保护沙漠中的商队,但同时又发起沙暴袭击他们。他是盖布与努特的儿子,奈芙
  • 绥远绥远可以指:
  • 齐纳齐纳(阿拉伯语:زِنَاء‎)是伊斯兰教法所指穆斯林在婚姻关系之外的非法性关系,包括外遇及婚前性行为,例如通奸(双方同意的婚外性关系)、私通(未婚人士在双方同意的情况下性交)及
  • 英国国家统计署英国国家统计署(英语:Office for National Statistics;威尔士语:Swyddfa Ystadegau Gwladol),简称“ONS”,为英国统计局(英语:UK Statistics Authority)的执行机构,直属于英国国会。国
  • 新田县新田县位于中国湖南省南部,是永州市下辖的一个县。明万历二年(1574年),设新田营于今龙泉镇(城关)。崇祯十二年(1639年),由宁远、桂阳析置新田县。全县辖7镇12乡。龙泉镇、金陵
  • 罗莎·卢森堡罗莎·卢森堡(德语:Rosa Luxemburg;波兰语:Róża Luksemburg;1871年3月5日-1919年1月15日)是德国马克思主义政治家、社会主义哲学家及革命家,德国共产党的创始人之一。1871年3月5日
  • 韩国诺贝尔奖得主列表本表列出韩国籍和出生于韩国的非韩国籍诺贝尔奖得主。
  • 副魮副魮(学名:)为辐鳍鱼纲鲤形目鲤科魮属的其中一个种。该物种于1957年由Jacques Daget描述,分布于非洲佛塔河流域,体长可达6.2公分。 维基物种中有关副魮的数据
  • 李滨 (男演员)李滨(1983年8月22日-),是中国大陆男演员,北京人。因电影《十七岁的单车》获第51届德国柏林电影节最佳新人奖。李滨 (男演员)的新浪博客