ECT理论-牛顿引力理论

✍ dations ◷ 2025-10-21 21:28:00 #力学

返回在牛顿引力场中,粒子运动的拉格朗日量为:

其中 v {\displaystyle {\vec {v}}} —粒子速度, φ ( x ) {\displaystyle \varphi ({\vec {x}})} —牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理 δ S = t 1 t 2 δ L d t = 0 {\displaystyle \delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt=0} 决定:

因此有: m d v d t + m φ ( x ) = 0 {\displaystyle m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0} 即: a = φ ( x ) {\displaystyle {\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})} ,这是牛顿引力场中的粒子运动方程。考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动,则拉格朗日量变为:

其中: ρ {\displaystyle \rho } —流体质量密度, d V {\displaystyle dV} —体积元。牛顿引力场本身的拉格朗日量为:

同时考虑引力场和无压理想流体,其总拉格朗日量为:

为了得到引力场的运动方程,只对 φ ( x ) {\displaystyle \varphi ({\vec {x}})} 取变分我们有:

因此有引力场运动方程 2 φ = 4 π G ρ {\displaystyle {{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho } 。这样,我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为:

按照分析力学原理,我们有守恒量---哈密顿量(其中: φ ˙ = φ t {\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}} )为:

其中 ρ φ ( x ) {\displaystyle \rho \varphi ({\vec {x}})} 代表理想流体与引力场的相互作用能,可以将它归为理想流体的能量,也可以把它归为引力场的能量,我们现在把它归为引力场的能量,这时需要从引力场运动方程解出: ρ = 1 4 π G 2 φ {\displaystyle \rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi } ,代入上式得:

其中: Σ {\displaystyle \Sigma } 为包围体积V边界。体积V是全空间。一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况,这时边界是无限远处,无限远处的边界条件是 φ φ O ( 1 r 3 ) {\displaystyle \varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{r}^{3}}})} d S O ( r 2 ) {\displaystyle d{\vec {S}}\to O({{r}^{2}})} ,其积 φ φ d S O ( 1 r ) {\displaystyle \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}})} ,因此 Σ φ φ d S = 0 {\displaystyle \int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0} .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件,我们有:

在分析力学中我们称哈密顿量为能量,因此又可写为:

哈密顿量是守恒量即 d H d t = 0 {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0} 也即 d E d t = 0 {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=0} 。从上面的结果我们看到: 1 2 ρ v v {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}} 代表理想流体的动能密度 T m {\displaystyle {{T}_{m}}} 1 8 π G φ φ {\displaystyle {\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi } 代表引力能密度 T g {\displaystyle {{T}_{g}}} ,这时我们看到总能量密度是 ε = T m T g {\displaystyle \varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}} ,引力能贡献的是负能。当然,如果将相互作用能归为理想流体的能量,则引力能贡献的是正能,数值仍然是 T g {\displaystyle {{T}_{g}}} 。返回

相关

  • 美国心理学会美国心理学会(英语:American Psychological Association)是美国的一个心理学领域的专业组织,成立于1892年7月,大约有15万名会员,年度预算约7000万美元。美国心理学会还以“APA格式
  • 班贝格班贝格(德语:Bamberg),也译作班堡、班贝克或巴姆贝格,是德国巴伐利亚州的无属县城市,位于巴伐利亚北部,隶属于上弗兰肯行政区,也是班贝格县的首府。班贝格是一座大学城和行政城市,是
  • 茅利塔尼亚毛里塔尼亚是非洲西部的国家,西濒大西洋,毗邻塞内加尔、西撒哈拉、马里共和国和阿尔及利亚,且为萨赫勒和马格里布的一部分。国内为辽阔而干燥的平原,面积1,030,700平方公里;地势
  • 池田行彦池田行彦(日语:池田 行彦;假名:いけだ ゆきひこ;平文式罗马字:Ikeda Yukihiko)(1937年5月13日-2004年1月28日)、日本政治家、大藏省官员,位阶为正三位。勲等为旭日大绶章。原姓粟根。历
  • 铒的同位素铒(原子量:167.259(3))的同位素,其中有6个同位素是在观测上稳定的。备注:画上#号的数据代表没有经过实验的证明,只是理论推测而已,而用括号括起来的代表数据不确定性。
  • 动物扮演动物扮演是指人加上一些道具去扮演一些实际存在的动物或是幻想的动物,并且模仿该动物的肢体行动,例如扮演小狗则以四肢着地地爬行。扮演动物的理由很多,例如Cosplay、情趣游戏
  • 蓝染植物蓝染植物是可用于加工以产生蓝色染料的植物,用这种染料染出来的织物称为蓝染(日语:藍染め)。目前常用的蓝染植物有下列四种:
  • 阮氏玉琼平兴公主阮氏玉琼(越南语:Bình Hưng công chúa Nguyễn Thị Ngọc Quỳnh/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN
  • 1928-29球季英格兰足总杯1928/29球季英格兰足总杯(英语:FA Cup),是第54届英格兰足总杯,今届赛事的冠军是保顿,他们在决赛以2:0击败朴茨茅斯,夺得冠军。本届赛事继续在旧温布莱球场举行。保顿在三年前曾夺冠
  • 苻觌苻觌,中国五胡十六国时代人物,前秦开国皇帝苻健的第四子。前秦皇始元年(351年)正月二十日,苻健即天王、大单于位,立国号为大秦,改年号为皇始,封苻觌为长乐公。次年,苻觌进封长乐王。