ECT理论-牛顿引力理论

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:56:45 #力学

返回在牛顿引力场中,粒子运动的拉格朗日量为:

其中 v {\displaystyle {\vec {v}}} —粒子速度, φ ( x ) {\displaystyle \varphi ({\vec {x}})} —牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理 δ S = t 1 t 2 δ L d t = 0 {\displaystyle \delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt=0} 决定:

因此有: m d v d t + m φ ( x ) = 0 {\displaystyle m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0} 即: a = φ ( x ) {\displaystyle {\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})} ,这是牛顿引力场中的粒子运动方程。考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动,则拉格朗日量变为:

其中: ρ {\displaystyle \rho } —流体质量密度, d V {\displaystyle dV} —体积元。牛顿引力场本身的拉格朗日量为:

同时考虑引力场和无压理想流体,其总拉格朗日量为:

为了得到引力场的运动方程,只对 φ ( x ) {\displaystyle \varphi ({\vec {x}})} 取变分我们有:

因此有引力场运动方程 2 φ = 4 π G ρ {\displaystyle {{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho } 。这样,我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为:

按照分析力学原理,我们有守恒量---哈密顿量(其中: φ ˙ = φ t {\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}} )为:

其中 ρ φ ( x ) {\displaystyle \rho \varphi ({\vec {x}})} 代表理想流体与引力场的相互作用能,可以将它归为理想流体的能量,也可以把它归为引力场的能量,我们现在把它归为引力场的能量,这时需要从引力场运动方程解出: ρ = 1 4 π G 2 φ {\displaystyle \rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi } ,代入上式得:

其中: Σ {\displaystyle \Sigma } 为包围体积V边界。体积V是全空间。一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况,这时边界是无限远处,无限远处的边界条件是 φ φ O ( 1 r 3 ) {\displaystyle \varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{r}^{3}}})} d S O ( r 2 ) {\displaystyle d{\vec {S}}\to O({{r}^{2}})} ,其积 φ φ d S O ( 1 r ) {\displaystyle \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}})} ,因此 Σ φ φ d S = 0 {\displaystyle \int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0} .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件,我们有:

在分析力学中我们称哈密顿量为能量,因此又可写为:

哈密顿量是守恒量即 d H d t = 0 {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0} 也即 d E d t = 0 {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=0} 。从上面的结果我们看到: 1 2 ρ v v {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}} 代表理想流体的动能密度 T m {\displaystyle {{T}_{m}}} 1 8 π G φ φ {\displaystyle {\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi } 代表引力能密度 T g {\displaystyle {{T}_{g}}} ,这时我们看到总能量密度是 ε = T m T g {\displaystyle \varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}} ,引力能贡献的是负能。当然,如果将相互作用能归为理想流体的能量,则引力能贡献的是正能,数值仍然是 T g {\displaystyle {{T}_{g}}} 。返回

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