菲涅耳方程

菲涅耳方程（或称菲涅耳条件）是由法国物理学家奥古斯丁·菲涅耳推导出的一组光学方程，用于描述光在两种不同折射率的介质中传播时的反射和折射。方程中所描述的反射因此还被称作“菲涅耳反射”。当光从一种折射率为 n 1 {displaystyle n_{1},} 的介质向另一种折射率为 n 2 {displaystyle n_{2},} 的介质传播时，在两者的交界处（通常称作界面）可能会同时发生光的反射和折射。菲涅尔方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情况，也描述了波反射时的相变。方程成立的条件是：界面是光滑平面，入射光是平面波，边际效应可被忽略。计算结果取决于入射光的偏振态。以下是两种情况（由于电场分量、磁场分量、光的传播方向由右手螺旋关系确定，所以仅讨论电场方向的偏振）在右图中，入射光线PO到达两种介质交界面上的点O时，部分光线被反射，反射光为OQ，而另一部分被折射，折射光为OS。定义入射光线、反射光线和折射光线各自与法线形成的夹角分别为 θ i {displaystyle theta _{i},} 、 θ r {displaystyle theta _{r},} 和 θ t {displaystyle theta _{t},} 。入射光线与反射光线的方向由反射定律约束：θ i = θ r {displaystyle theta _{mathrm {i} }=theta _{mathrm {r} }}入射光线与折射光线的方向由斯涅尔定律约束：sin ⁡ θ i sin ⁡ θ t = n 2 n 1 {displaystyle {frac {sin theta _{mathrm {i} }}{sin theta _{mathrm {t} }}}={frac {n_{2}}{n_{1}}}}一定功率的入射光被界面反射的比例称为反射比 R {displaystyle R,} ；折射的比例称为透射比 T {displaystyle T,} 。对反射比和透射比的计算需要用到电动力学中的电磁波传播理论，具体方法可参考玻恩的《光学原理：光的传播、干涉和衍射的电磁理论》以及杰克逊的《经典电动力学》。反射比和透射比的具体形式还与入射光的偏振有关。如果入射光的电矢量垂直于右图所在平面（即s偏振），反射比为其中 θ t {displaystyle theta _{t},} 是由斯涅尔定律从 θ i {displaystyle theta _{i},} 导出的，并可用三角恒等式化简。如果入射光的电矢量位于右图所在平面内（即p偏振），反射比为透射比无论在哪种情况下，都有 T = 1 − R {displaystyle T=1-R,} 。如果入射光是无偏振的（含有等量的s偏振和p偏振），反射比是两者的算数平均值： R = R s + R p 2 {displaystyle R={frac {R_{s}+R_{p}}{2}},} 。反射和折射光波的振幅与入射光波振幅的比值（通常称为反射率和透射率）也可用类似的方程给出，这些方程也称作菲涅耳方程。根据不同的体系和符号习惯，它们可以有不同形式。反射率和透射率通常用小写的 r {displaystyle r,} 和 t {displaystyle t,} 表示。在某些体系中，它们满足条件：对于给定的折射率 n 1 {displaystyle n_{1},} 和 n 2 {displaystyle n_{2},} 且入射光为p偏振光时，当入射角为某一定值时 R p {displaystyle R_{p},} 为零，此时p偏振光被完全透射而无反射光出射。这个角度被称作布儒斯特角，对于空气或真空中的玻璃介质约为56°。注意这个定义只是对于两种折射率都为实数的介质才有意义，对于会吸光的物质，例如金属和半导体，折射率是一个复数，从而 R p {displaystyle R_{p},} 一般不为零。当光从光密介质向光疏介质传播时（即 n 1   > n 2 {displaystyle n_{1} >n_{2},} 时），存在一个临界的入射角，对于大于此入射角的入射光 R s = R p = 1 {displaystyle R_{s}=R_{p}=1,} ，此时入射光完全被界面反射。这种现象称作全内反射，临界角被称作全反射临界角，对于空气中的玻璃约为41°。当光线以近法线入射（ θ i ≈ θ t ≈ 0 {displaystyle theta _{i}approx theta _{t}approx 0,} ）时，反射比和透射比分别为：对于普通的玻璃，反射比大约为4%。注意窗户对光波的反射包括前面一层以及后面一层，因而少量光波会在两层之间来回振荡形成干涉。如忽略这种干涉效应，这两层合并后的反射比为 2 R 1 + R {displaystyle {frac {2R}{1+R}},} （见下）。需要指出的是这里所有的讨论都假设介质的磁导率 μ {displaystyle mu ,} 都等于真空磁导率 μ 0 {displaystyle mu _{0},} 。对于大多数电介质而言这是近似正确的，但对其他类型的物质来说不正确，因而若考虑这一点则菲涅耳方程的形式会更加复杂。当光在两层以上平行表面发生多重反射时，多列反射光波往往会互相发生干涉，从而有可能会使系统总的透射光和反射光振幅表达起来相当复杂，这通常是波长（或频率）的函数。一个例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下会产生多种色彩；其他例子还包括法布里－珀罗干涉仪、透镜等光学仪器表面所用的能极大降低反射率的镀膜（增透膜），以及各种光学滤波器。对这些效应的定量计算仍然是基于菲涅耳方程的，但也要考虑额外产生的干涉所带来的影响，通常可以采用光学中的传递矩阵方法来计算这些问题。