三立方数和

三立方数和问题（英语：sums of three cubes）是指丢番图方程${\displaystyle x^3+y^3+z^3=n}$是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

${\displaystyle n=0}$时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在${\displaystyle n=0}$时的三立方和只有如下平凡解：

${\displaystyle n=1,2}$时，存在如下解系，有无数解：

以及，

上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外，${\displaystyle n=1}$也有其他三立方和解系，${\displaystyle n=2}$有如下著名解：

然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在${\displaystyle n=3}$处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔（英语：Louis J. Mordell）在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月底前，上述两式曾经是${\displaystyle n=3}$长期以来仅有的2组已知解，但就在同月月底，发现了第3组解：

1955年起，莫德尔（Mordell）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数${\displaystyle n}$，埃尔森汉斯（Elsenhans）与雅内尔（Jahnel）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了范围内的所有解。2016年，于斯曼（Huisman）使用同样的方法将搜索上界提升至。到此时为止，的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的${\displaystyle n}$都找到了至少一组整数解。

2019年，安德鲁·布克（英语：Andrew Booker (mathematician)）采用一种新方法发现了${\displaystyle n=33}$的一组解：

此时，他在的范围里尚没有找到${\displaystyle n=42}$的解。

随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰（英语：Andrew Sutherland (mathematician)）最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来：

这个解的获得在Charity Engine全球网络（Charity Engine's global grid）上耗费了130万机时。

至此1到100之间的所有整数都确认了是否有非零整数解。截至2019年9月 (2019-09)，未能求解最小整数是${\displaystyle n=114}$，如果有解的话，${\displaystyle (|x|,|y|,|z|)}$至少有一数大于100000000000。

仅剩的未解决的在1000以内的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7个。

在2021年年初，579已经被解决问题，