逆威沙特分布

逆威沙特分布，也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数，定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中，逆威沙特分布会用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。如果一个正定矩阵 ${\displaystyle \mathbf{B}}$(·) 则是多变量伽马分布（英语：Multivariate gamma function）。函数

指的是迹函数。

设矩阵${\displaystyle \mathbf{A}\sim <!--\; \sim \; -->W(\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->},m)}$ 并且 ${\displaystyle \mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$ 是${\displaystyle p\times <!--\; \times \; -->p}$ 的矩阵，那么 ${\displaystyle \mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-<!--\; -\; -->1}}$ 遵从逆威沙特分布：${\displaystyle \mathbf{B}\sim <!--\; \sim \; -->W^{-<!--\; -\; -->1}({\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1},m)}$。它的概率密度函数是：

其中 ${\displaystyle \mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}={\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}}$，而 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_p(\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$ 是多变量伽马分布。

设矩阵 ${\displaystyle \mathbf{A}\sim <!--\; \sim \; -->W^{-<!--\; -\; -->1}(\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->},m)}$ 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$ 都有相适合的分块矩阵表示方式：

其中子矩阵 ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{ij}}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{ij}}$ 是 ${\displaystyle p_i\times <!--\; \times \; -->p_j}$ 的矩阵，那么会有：

甲）${\displaystyle {\mathbf{A}}_{11}}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{11}^{-<!--\; -\; -->1}{\mathbf{A}}_{12}}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1}}$ 相互独立，其中 ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1}={\mathbf{A}}_{22}-<!--\; -\; -->{\mathbf{A}}_{21}{\mathbf{A}}_{11}^{-<!--\; -\; -->1}{\mathbf{A}}_{12}}$ 是子矩阵 ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{11}}$ 在 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 中的舒尔补。

乙） ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{11}\sim <!--\; \sim \; -->W^{-<!--\; -\; -->1}({\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{11},m-<!--\; -\; -->p_2)}$;

丙） ${\displaystyle {\mathbf{A}}_{11}^{-<!--\; -\; -->1}{\mathbf{A}}_{12}|{\mathbf{A}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1}\sim <!--\; \sim \; -->M{N}_{p_1\times <!--\; \times \; -->p_2}({\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{11}^{-<!--\; -\; -->1}{\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{12},{\mathbf{A}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1}\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{11}^{-<!--\; -\; -->1})}$，其中 ${\displaystyle M{N}_{p\times <!--\; \times \; -->q}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$ 是矩阵正态分布。

丁）${\displaystyle {\mathbf{A}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1}\sim <!--\; \sim \; -->W^{-<!--\; -\; -->1}({\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{22\cdot <!--\; \cdot \; -->1},m)}$

假设要求先验分布 ${\displaystyle p(\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})}$ 为逆威沙特分布 ${\displaystyle W^{-<!--\; -\; -->1}(\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->},m)}$ 的协方差矩阵${\displaystyle \mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$。如果观测值${\displaystyle \mathbf{X}=}$ 是从互相独立的 p-变量正态分布 ${\displaystyle N(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})}$ 的随机变量得到的，那么条件分布 ${\displaystyle p(\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}|\mathbf{X})}$ 遵从的是逆威沙特分布：${\displaystyle W^{-<!--\; -\; -->1}(\mathbf{A}+\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->},n+m)}$。其中 ${\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{X}{\mathbf{X}}^T}$ 是样本协方差矩阵的${\displaystyle n}$倍。

因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

期望值：:85

矩阵 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 的每一个系数的方差：

对角系数的方差是在上式中令 ${\displaystyle i=j}$ 得到，化简后变成：

当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：逆伽马分布（英语：Inverse-gamma distribution）。也就是说，当 ${\displaystyle p=1}$、${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=m/2}$、${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathbf{\Psi <!--\; \Psi \; -->}/2}$ 以及 ${\displaystyle x=\mathbf{B}}$ 的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：

这正是逆伽马分布。其中 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_1(\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$ 是通常的伽马函数。

而逆威沙特分布也有推广，其中一个是正态逆威沙特分布（英语：Normal-inverse-Wishart distribution）。