雷诺传输定理

雷诺传输定理也称为莱布尼兹-雷诺传输定理或雷诺定理，是以积分符号内取微分闻名的莱布尼兹积分律（英语：Leibniz integral rule）的三维推广。

雷诺传输定理得名自奥斯鲍恩·雷诺（1842–1912），用来调整积分量的微分，用来推导连续介质力学的基础方程。

考虑在时变的区域${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)}$积分${\displaystyle \mathbf{f}=\mathbf{f}(\mathbf{x},t)}$，其边界为${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)}$，考虑上式对时间的微分：

若要求上述积分的导数，会有两个问题，${\displaystyle \mathbf{f}}$的时间相依性，及因${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$动态的边界而增加或减少的空间，雷诺传输定理提供了必要的框架。

要推导的雷诺传输定理是：

其中${\displaystyle \mathbf{n}(\mathbf{x},t)}$为向外的单位法向量，${\displaystyle \mathbf{x}}$为区域中的一点，也是积分变数，${\displaystyle \text{dV}}$ 及${\displaystyle \text{dA}}$是${\displaystyle \mathbf{x}}$内的体积元素及表面元素，${\displaystyle {\mathbf{v}}^b(\mathbf{x},t)}$为面积元素的速度，不一定要是流速。函数${\displaystyle \mathbf{f}}$可以是张量、向量或标量函数。注意等式左边的积分只是时间的函数，因此可以用全微分。

在连续介质力学中，此定理常用在没有物质进来或离开的流体块（英语：fluid parcel）或固体中。若${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)}$为一流体块，则存在速度函数${\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t)}$及边界元素符合下式

上式在替代后，可以得到以下的定理

令${\displaystyle {\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_0}$为区域${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)}$的参考组态，令其运动及形变梯度为

令${\displaystyle J(\mathbf{X},t)=det}$.则目前组态及参考组态的积分有以下的关系

That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 针对体积积分的微分定义为

 \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) =    \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{1}{\Delta t}    \left(\int_{\Omega(t + \Delta t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t+\Delta t)~\text{dV} -           \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) ~.

</math>将上式转换为对参考组态的积分，可得

因为${\displaystyle {\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_0}$和时间无关，可得

现在，${\displaystyle det\mathit{F}}$的时间导数为

因此

其中${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{f}}}$为${\displaystyle \mathbf{f}}$的材料导数（英语：Material derivative），现在材料导数为

因此

或者

利用以下的恒等式

可得

利用高斯散度定理及恒等式 ${\displaystyle (\mathbf{a}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{b})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}=(\mathbf{b}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n})\mathbf{a}}$，可得

此定理常被错误的引用为只针对物质体积（material volume）的形式，若将只针对物质体积应用于物质体积以外的区域中，就会出现问题。

若${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$不随时间改变，则${\displaystyle {\mathbf{v}}_b=0}$，且恒等式化简为以下的形式

不过若用了不正确的雷诺传输定理，无法进行上述的简化。

此定理是积分符号内取微分的高维延伸，有些情形下可以简化为积分符号内取微分。假设${\displaystyle f}$和${\displaystyle y}$和${\displaystyle z}$无关，且${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)}$为${\displaystyle y-<!--\; -\; -->z}$平面的单位方块，且有${\displaystyle a(t)}$及${\displaystyle b(t)}$的极限，雷诺传输定理会简化为

上述是由积分符号内取微分来的表示式，但x及t变数已经对调。

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