香农-范诺编码

在数据压缩的领域里，香农-范诺编码（英语：Shannon–Fano coding）是一种基于一组符号集及其出现的或然率（估量或测量所得）构建前缀码的技术。其名称来自于克劳德·香农和罗伯特·范诺。在编码效率上，它并不能与霍夫曼编码一样实现编码（code word）长度的最低期望；然而，与霍夫曼编码不同的是，它确保了所有的编码长度在一个理想的理论范围${\displaystyle -<!--\; -\; -->\log P(x)}$之内。这项技术是香农于1948年，在他介绍信息理论的文章“通信数学理论”中提出的。范诺则在不久以后独立地以技术报告形式将其发布。 香农-范诺编码不应该与香农编码混淆，后者的编码方法用于证明Shannon's noiseless coding theorem，或与Shannon–Fano–Elias coding（又被称作Elias coding）一起，被看做算术编码的先驱。

香农-范诺编码将符号从最大可能性到最少可能性排序，并将排列好的信源符号分为两大组，使两组的概率和接近，并各赋予一个二进制符号“0”和“1”。只要有符号剩余，就以同样的过程重复这些步骤以此确定这些代码的连续编码数字。依次下去，直至每一组的只剩下一个信源符号为止。当一组已经仅剩余一个符号，显然，这意味着这一符号的编码是完整的，也不会成为任何其他符号的代码前缀。

香农-范诺编码能够产生相对高效的可变长度编码；对于每一个比特位而言，当两个较小的集合具有恰好相等的概率时，这一方法就能最有效地利用这一位编码的信息。然而，香农-范诺并不总是产生最优的前缀码：例如对概率{0.35，0.17，0.17，0.16，0.15}，香农-范诺算法就无法给出理想的编码。出于这个原因，香农-范诺编码几乎从不被使用。

Shannon-Fano编码树是基于一个符号和对应频率的列表建立的。实际的算法很简单：

这个例子展示了一组字母的香农编码结构（如图a所示）这五个可被编码的字母有如下出现次数：

从左到右，所有的符号以它们出现的次数划分。在字母B与C之间划定分割线，得到了左右两组，总次数分别为22、17，这样就把两组的差别降到最小。通过这样的分割，A与B同时拥有了一个以0为开头的编码，C、D、E的前缀则为1，如图b所示。随后，在树的左半边，于A、B间建立新的分割线，这样A就成为了编码为00的叶子节点，B的编码为01。经过四次分割，得到了一个树形编码。如下表所示，在最终得到的树中，拥有最大频率的符号被两位编码，其他两个频率较低的符号被三位编码。

根据A，B，C两位编码长度，D，E的三位编码长度，最终的平均码字长度是

香农-范诺编码算法并非总能得到最优编码。1952年, David A. Huffman提出了一个不同的算法，这个算法可以为任何的可能性提供出一个理想的树。香农-范诺编码是从树的根节点到叶子节点所进行的的编码，霍夫曼编码算法却是从相反的方向，暨从叶子节点到根节点的方向编码的。

用以上Shannon - Fano例子所使用的分析，即：

首先将D、E合并，它们频率和为11（图a至图b）。接下来概率最低的一组是B（7）和C（6），所以将他们作为左右子树组成新的根结点BC。在剩下的三个节点中，BC（13）和DE（11）的频率和最低，因此组成新的二叉树BE。最后将仅剩的两个节点合并，并分别为它们分配前缀0和1。这样所有的节点都成为了唯一一个编码树的叶节点。

这个例子中，A的编码长度是1比特，其余字符是3比特。

结果是