可罗萨里过剩数

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:37:07 #除数函数,整数数列

可罗萨里过剩数(Colossally superabundant number,有时会简称CA)是指一正整数,存在一正数ε,使得对于所有正整数m,下式恒成立:

其中σ为除数函数,是所有正约数(包括本身)的和。

头几个超过剩数为:2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040... (OEIS中的数列A004490)

所有的可罗萨里过剩数都是超过剩数,但有些整数是超过剩数,而不是可罗萨里过剩数。

可罗萨里过剩数最早是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所发现,他在1915年提出的相关高合成数的论文中原来有包括有可罗萨里过剩数的相关研究。不过因为期刊发行单位伦敦数学学会的财务问题,拉马努金为了减少论文的篇幅,愿意删除论文中有关可罗萨里过剩数的内容。拉马努金的研究和黎曼猜想有关.配合他提出的有关可罗萨里过剩数上下限的假设,可以证明一个称为罗宾不等式的不等式在所有足够大(英语:sufficiently large)的正整数时都成立。

拉马努金发现的可罗萨里过剩数比莱昂尼达斯·阿劳哥鲁(英语:Alaoglu)及保罗·埃尔德什所发现的类似整数要严格一些些。

可罗萨里过剩数是由有许多约数的整数组成的数列,以除数函数和本身之间的闗系来判断是否有很多约数。一正整数的除数函数是所有的正约数的和(包括1和)。保罗·巴赫曼(英语:Paul Gustav Heinrich Bachmann)证明σ()的平均值大致接近π² / 6。多玛·哈肯·格朗沃尔(英语:Thomas Hakon Grönwall)提出的格朗沃尔定理证明σ()最大值的数量值略大于上述的公式,而且存在一个递增数列使得整数σ() 大致和γlog(log())大小相当,其中γ为欧拉-马歇罗尼常数。可罗萨里过剩数需要在针对某一特定ε > 0的条件下,下列函数在为可罗萨里过剩数时有最大值:

保罗·巴赫曼及古伦沃尔证明了针对每个小于0的ε > 0,此函数会有一最大值,而且当ε越接近0,最大值的数值会越大。因此有无穷多个Colossally过剩数,不过分布的非常稀疏,在小于1018的范围内只有22个。

针对每一个ε值,上述的函数均存在一个全域极大值。但各ε值下函数的全域极大值可能有多个点,不一定只有一个点。阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什研究在一定特定值的ε值下,会有几个不同的使上述函数均为全域最大值,针对大多数的ε值,只有一个使函数有全域最大值。不过埃尔德什和让-路易·尼古拉(Jean-Louis Nicolas)证明有一些离散的ε值形成的集合,在该ε值下函数会有2或4个不同的值,都会使函数有相同的全域最大值。

Alaoglu及保罗·埃尔德什合作在1944年发表的论文中试图证明二个连续可罗萨里过剩数之间的比值恒为素数,但没有成功。后来将上述的叙述变成一个猜想,而且证明此猜想会依循超越数论(英语:transcendental number theory)中四个指数猜想(英语:Four exponentials conjecture)中的一个特例,也就是对于二相异的素数,及一实数,只有在为正整数时才能同时使及均为有理数。

根据六个指数定理(英语:six exponentials theorem)中有关三个素数的类似结果(也就是卡尔·西格尔声称由他本人证明的定理),阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什已证明二个连续可罗萨里过剩数之间的比值恒为素数或是半素数(二个相异素数乘积)。

阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什的猜想尚未被证实或推翻。若其猜想成立,表示存在一个由非相异素数组成的数列1, 2, 3,…,使得第个可罗萨里过剩数可以用下式表示:

假设上述猜想成立,此素数数列的前几项为2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (OEIS中的数列A073751),而且所有的ε值下,函数只会有1或2的值使函数有相同的全域最大值,没有任何一个ε值会对应4个使函数有相同全域最大值的值。

1980年代盖.罗宾证明黎曼猜想等于以下的不等式对于所有大于5040的正整数都成立:

当 = 5040时上述等式不成立,但罗宾证明若黎曼猜想成立时,上述不等式只有在=5040时会不成立,其余条件都会成立,上述不等式称为罗宾不等式。若除了5040外,仍有其他正整数使罗宾不等式不成立,该正整数一定是可罗萨里过剩数,因此黎曼猜想也等于上述不等式对于所有大于5040的可罗萨里过剩数都成立。

相关

  • 山座圆次郎山座圆次郎(庆应2年10月26日(1866年12月2日) - 大正3年(1914年)5月28日)日本明治、大正时期的外交官。生于日本福冈。东京帝国大学毕业。1901年任外务省政务局长,曾参与缔结日英同
  • 主菜主菜(英语:Main Course),是指一个包含多项餐点的套餐中,最具特色的、或是最主要的餐点。主菜通常会紧接着副菜(英语:Entrée)后面送上。而在美国以及部分的加拿大地区,主菜这个单字,通
  • 手雷手榴弹,又称手雷,是一种手投式的武器,具有爆炸功能。因为17世纪至18世纪欧洲的手雷外形和碎片都像石榴和菠萝,由而得名,近年来由于FPS游戏的流行,而在台湾有“芭乐”的俗称。手榴
  • 美国团结党美国团结党(英语:American Solidarity Party,缩写为ASP)是美国的一个基督教民主主义政党,格言为“共同善性,共同立场,共同常识”("Common Good, Common Ground, Common Sense")。党内
  • 正常物品在经济学上,正常物品,又称正常财,是当实际收入增加后,需求亦会随着增加的物品。经济学上的定义跟物品的品质并没有关系。根据无差异曲线,一个消费者购买一件物品的数量可以增加、
  • 纳拉伯平原纳拉伯平原(Nullarbor Plain)是澳大利亚大澳大利亚湾以北的一块平坦、几乎没有树木、干旱的地区。它的名字来自于拉丁语nullus(没有)和arbor(树木)。它是世界上最大的一整块的石灰
  • 满月酒 (电影)《满月酒》(英文:)是一部2015年电影,改编自定居美国的台湾导演郑伯昱自身的故事。剧情是描写身为同性恋的主角受到传统家庭观念束缚,又面临传宗接代的问题,在经由不同途径寻求代理
  • 埃内斯托·梅希亚 埃内斯托·梅希亚(英语:Ernesto Mejía,1985年11月2日-),为委内瑞拉的棒球选手之一,于2002年美国职棒选秀亚特兰大勇士自由契约球员,目前效力于日本职棒埼玉西武狮,守备位置为内野
  • 霍尔顿·阿尔普霍尔顿·克里斯蒂安·“奇普”·阿尔普(英语:Halton Christian "Chip" Arp,1927年3月21日-2013年12月28日),美国天文学家,以制作出版于1966年的《特殊星系图集》而闻名,后来知道该图
  • 蓝花楹蓝花楹(学名:)是紫葳科蓝花楹属的植物。分布在阿根廷、玻利维亚、巴西。目前已人工引种栽培到中国的广西、海南、广东、云南、福建等地,。蓝花楹树可长至5至15米高。树皮薄,灰褐