时标微积分

✍ dations ◷ 2024-12-23 15:07:09 #动力系统,微积分,递推关系

在数学中,时标微积分是差分方程和微分方程的一种统一。时标微积分最初由德国数学家发明,应用于需要同时包含离散和连续的情况的模型的领域中。它为导数赋予了新的定义,使得如果你对定义在实数中的闭区间上的函数进行求导,就等价于通常意义上的导数;然而如果你将这种新定义的导数作用于定义在整数集上的函数,则它就等价于前移差分算子。

关于微分方程的很多结果能够轻而易举地延伸到差分方程中相对应的结果,然而其他的一些结果却在二者中看起来非常不同。。时标动力方程的研究揭示了这种差异,并且有助于避免将类似的结果证明两次——在微分方程中证明一次,在差分方程中又证明一次。一般的想法是证明一个动力方程的结果,其中未知函数的定义域叫做时标(又叫做时集),它可以是实数集中的任意闭子集。用这种方式定义以后,结果就不仅能应用于实数集或者整数集,还能应用在更一般的时标,例如康托尔集。时标的最广泛的三种应用是微分学、有限差分和量子微积分。时标动力方程在诸如群族动力学等领域有潜在应用。例如,我们可以建立一种昆虫的种群模型,在生长季节种群数量是连续变化的,在冬季这种昆虫死亡,但是它们的卵处在孕育或者休眠的状态,然后在春季孵化出来,进而导致了一个不重叠的种群数量。

时标或称度量链 T {\displaystyle \mathbb {T} } f Δ ( t ) {\displaystyle f^{\Delta }(t)} 对于任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ,存在 t {\displaystyle t} 的一个邻域 U {\displaystyle U} 使得:

对于任意的 s T {\displaystyle s\in T} 。令 T = R {\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} } 。那么 σ ( t ) = t {\displaystyle \sigma (t)=t} μ ( t ) = 0 {\displaystyle \mu (t)=0} f Δ = f {\displaystyle f^{\Delta }=f'} 是用于标准微积分中的导数。令 T = Z {\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} } (整数集),那么 σ ( t ) = t + 1 {\displaystyle \sigma (t)=t+1} μ ( t ) = 1 {\displaystyle \mu (t)=1} f Δ = Δ f {\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f} 是用在差分方程中的前移差分算子。

稍微修改一下Z变换,就可以得到一个用于差分方程的Z* 变换,它使用与用于微分方程的拉普拉斯变换相同的表格。这种变换现在应用于所有的时标动力方程,而不仅仅用于整数或实数。

相关

  • 物理学定律列表物理学定律列表列出了各项物理范畴的所有条定律,包括力学、热学、光学等等。
  • 成br /铁br /纪成铁(Siderian,符号PP1)是地质时代中的一个纪,开始于同位素年龄2500±0百万年(Ma),结束于2300±0Ma。成铁纪的名称来自于希语sideros“铁”,因这个时期是世界上形成特大型铁矿田,出现
  • 笔石纲笔石(graptolites)是一类已灭绝的很小的群居性半索动物,生存于寒武纪中期至石炭纪晚期的海洋中,其中志留纪时期的笔石化石甚多,被称为“笔石时代”。因为它们酷似古代西方使用的
  • 玄学道家系列条目玄学是盛于魏晋南北朝的哲学思潮,本来以解释“三玄”(《老子》、《庄子》和《周易》)为主,后来发展成讨论和解释其他道家、儒家经典的清谈风气。由于在现代,“玄学”
  • US在美国法律里,非建制属地(Unincorporated territories)是指一个地区由美国政府控制,但美国国会未对该领土通过组织建制法律。在非合并领土里,美国宪法仅有部分适用。在13个地区当
  • 症候群 (电视剧)《症候群》(韩语:신드롬,英语:,又名《综合症》),为韩国JTBC自2012年2月13日起至4月17日播出的月火连续剧,共20集。由韩惠轸、宋昶仪、朴建炯、曹在显、金成铃与金佑锡等人主演。
  • 泰国王室国王陛下 王后陛下​王太后陛下现存泰国王室(泰语:ราชวงศ์จักรี)为拉玛一世于1782年建立并延续至今的扎克里王朝,两个多世纪以来,王位已经传承十世。王室继位顺序和
  • 乌纳乌纳(Uinal)是马雅历20金的长纪历周期,有20天。假如玛雅人的长纪历日期为12.19.13.15.12(2006年12月5日),那12.19.13.15.12之中写的15就是乌纳。
  • 马克斯·伊斯特曼马克斯·伊斯特曼(Max Eastman 1883年1月4人 – 1969年3月25日)美国作家、诗人、知名政治活动家,写作内容涉及文学、哲学和社会。最初,他支持社会主义并成为哈莱姆文艺复兴运动
  • 廖希元廖希元(?-?),字伯才,湖广衡州府桂阳州蓝山县人,民籍,明朝政治人物。湖广乡试第四十八名。隆庆五年(1571年),中式辛未科会试第一百九十二名,殿试第三甲第一百五十二名进士。曾官浙江衢州府