时标微积分

✍ dations ◷ 2025-08-26 18:05:33 #动力系统,微积分,递推关系

在数学中,时标微积分是差分方程和微分方程的一种统一。时标微积分最初由德国数学家发明,应用于需要同时包含离散和连续的情况的模型的领域中。它为导数赋予了新的定义,使得如果你对定义在实数中的闭区间上的函数进行求导,就等价于通常意义上的导数;然而如果你将这种新定义的导数作用于定义在整数集上的函数,则它就等价于前移差分算子。

关于微分方程的很多结果能够轻而易举地延伸到差分方程中相对应的结果,然而其他的一些结果却在二者中看起来非常不同。。时标动力方程的研究揭示了这种差异,并且有助于避免将类似的结果证明两次——在微分方程中证明一次,在差分方程中又证明一次。一般的想法是证明一个动力方程的结果,其中未知函数的定义域叫做时标(又叫做时集),它可以是实数集中的任意闭子集。用这种方式定义以后,结果就不仅能应用于实数集或者整数集,还能应用在更一般的时标,例如康托尔集。时标的最广泛的三种应用是微分学、有限差分和量子微积分。时标动力方程在诸如群族动力学等领域有潜在应用。例如,我们可以建立一种昆虫的种群模型,在生长季节种群数量是连续变化的,在冬季这种昆虫死亡,但是它们的卵处在孕育或者休眠的状态,然后在春季孵化出来,进而导致了一个不重叠的种群数量。

时标或称度量链 T {\displaystyle \mathbb {T} } f Δ ( t ) {\displaystyle f^{\Delta }(t)} 对于任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ,存在 t {\displaystyle t} 的一个邻域 U {\displaystyle U} 使得:

对于任意的 s T {\displaystyle s\in T} 。令 T = R {\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} } 。那么 σ ( t ) = t {\displaystyle \sigma (t)=t} μ ( t ) = 0 {\displaystyle \mu (t)=0} f Δ = f {\displaystyle f^{\Delta }=f'} 是用于标准微积分中的导数。令 T = Z {\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} } (整数集),那么 σ ( t ) = t + 1 {\displaystyle \sigma (t)=t+1} μ ( t ) = 1 {\displaystyle \mu (t)=1} f Δ = Δ f {\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f} 是用在差分方程中的前移差分算子。

稍微修改一下Z变换,就可以得到一个用于差分方程的Z* 变换,它使用与用于微分方程的拉普拉斯变换相同的表格。这种变换现在应用于所有的时标动力方程,而不仅仅用于整数或实数。

相关

  • 中心静脉置管中心静脉导管(central venous catheter, CVC)属于血管内管的一种,放置于大静脉中。常置入之大静脉包括有:全血 · PF24/新鲜冷冻血浆 (冷上清制剂 + 冷沈淀制剂)基于血红蛋白的
  • 姚 熹姚熹(1935年9月-),中国科学院院士。1957年毕业于西安交通大学电机工程系。1982年获美国宾夕法尼亚州立大学固态科学博士学位。1991年当选为中国科学院院士。2007年当选美国国家
  • 教父母教父母,或称谊父母、契爸妈、名义双亲,天主教称神亲或代父母,在基督教的洗礼仪式中为受洗者扮演作保的角色,男性为教父,女性为教母。婴儿或儿童受洗后,教父或教母会教导受洗者(即教
  • 内务大臣内务大臣,指的可能是:
  • 邵武话邵武话是汉语族闽语支邵将语中的一种方言,也是邵将语的代表方言,通行于福建省南平的邵武市一带。邵武话是带有非常多赣语的特点,兼具闽北语的特色。邵武话之下又分为城关话、洪
  • 莫里森托妮·莫里森(英语:Toni Morrison,1931年2月18日-2019年8月5日)美国非洲裔女性作家,是世界文学最重要的作家之一,以其选集于1993年获诺贝尔文学奖。她是美国非洲文学的重要作者。她
  • 左利手左撇子,又称左利手、倒手仔,是指擅长使用左手进行例如书写等日常活动的人,相对的是右利手。左利手的人一般来说,使用左手的次数比右手高出许多,例如书写文字、下厨料理、使用筷子
  • 莫晋莫晋,字锡三,号宝斋,又号裴舟,浙江会稽(今属绍兴市)人。莫晋于乾隆六十年(1795年)中式乙卯恩科一甲第二名进士(榜眼),授翰林院编修。历任仓场侍郎,因事左迁内阁学士。
  • 塞缪尔·亨廷顿塞缪尔·亨廷顿可以指:
  • 白吉尔玛丽-格莱尔·白吉尔(法语:Marie-Claire Bergère,1933年-),亦译为玛丽-克莱尔·贝热尔,或称白吉尔夫人、白尔杰夫人,是法国历史学家和汉学家,亦是法国国立东方语言与文化学院荣誉教