旋转不变性

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:18:31 #守恒定律

在数学里,给予一个定义于内积空间的函数,假若对于任意旋转,函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为旋转不变性(rotational invariance),或旋转对称性(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}} 的数值保持不变,因此,函数 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,\,y,\,z)} 对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里,假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关,则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理,假若物理系统的作用量具有旋转不变性,则角动量守恒。

根据物理学家多年来仔细研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性。

假设一个量子系统的位势为球对称位势 V ( r ) {\displaystyle V(r)} ,其哈密顿算符 H {\displaystyle H} 可以表示为

其中, {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数, m {\displaystyle m} 是质量, r {\displaystyle r} 是径向距离。

现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴 θ {\displaystyle \theta } 角弧,则新直角坐标 r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')} 与旧直角坐标的关系式为

偏导数为

那么,导数项目具有旋转不变性:

由于径向距离具有旋转不变性:

旋转之后,新的哈密顿算符 H {\displaystyle H'}

所以,球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

假设一个量子系统的位势为球对称位势 V ( r ) {\displaystyle V(r)} ,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 R {\displaystyle R} 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 δ θ {\displaystyle \delta \theta } 。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

R {\displaystyle R} 作用于波函数 ψ ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,\,y,\,z)}

其中, L z {\displaystyle L_{z}} 是角动量的 z-分量, L z = x p y y p x = i ( x y y x ) {\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}

所以,旋转算符 R {\displaystyle R} 可以表达为

假设 ψ E ( r ) {\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 是哈密顿算符的能级本征态,则

由于 r {\displaystyle \mathbf {r} } 只是一个虚设变数,

在做一个微小旋转之后,

所以, ( R H H R ) ψ E ( r ) = 0 {\displaystyle (RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0} 。哈密顿算符的能级本征态 ψ E ( r ) {\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 形成一组完备集 (complete set),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

因此,

根据埃伦费斯特定理, L z {\displaystyle L_{z}} 的期望值对于时间的导数是

所以,

由于 L z {\displaystyle L_{z}} 显性地不含时间,

总结, L z {\displaystyle \langle L_{z}\rangle } 不含时间, L z {\displaystyle L_{z}} 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。

相关

  • 不孕不育不孕(英语:Infertility)又称不育,是指人类、动物或植物无法透过有性生殖繁衍后代的情形。对于大部分健康的成熟动植物个体而言,会在生命中的特定时期内有生育能力,不过真社会性物
  • 近东近东,早期近代西方地理学者以“近东”指邻近欧洲的“东方”。欧美人使用的词汇,以他们所处的位置来讲,指地中海东部沿岸地区,包括非洲东北部和亚洲西南部,有时还包括巴尔干半岛。
  • 菲利库迪岛菲利库迪岛是意大利的岛屿,位于西西里岛以北的提雷尼亚海,属于埃奥利群岛的一部分,长5.4公里、宽3.1公里,面积9.5平方公里,最高点海拔高度774米,2001年人口235。坐标:38°34′N 14
  • 恩典在圣经中,“恩典”这个词语翻译自古希腊语:χάρις(charis),原意为“带来满足、愉快、欢乐和好运”。七十士译本将希伯来语中表示“好意”的词根翻译成“恩典”,例如创世纪6:8
  • 双相情感障碍躁郁症(英语:bipolar disorder,亦称双相情感障碍、情绪两极症,早期称为躁狂抑郁疾病、manic depression),是一种精神病经历情绪的亢奋期和抑郁期。情绪亢奋期(躁期)可分为“狂躁”或
  • 情陷布拉格《情陷布拉格》(The Unbearable Lightness of Being),又译作《布拉格的春天》、《布拉格之恋》,是根据米兰·昆德拉1984年出版的小说《生命中不能承受之轻》于1988年改编成的电
  • 陈垣崇陈垣崇(1948年9月24日-),台湾医学家和发明家,中央研究院院士及生物医学科学研究所第三任所长(2001-2010)。他的许多医学创新研究,已运用在临床上,改善病人照护。出身医生世家的陈垣崇
  • 叶须虫目见内文叶须虫目(学名:Phyllodocida)是多毛纲足刺亚纲之下一个目。这些物种主要在海洋生活,而有少量生活于咸淡水交界处。本目物种大多数是活跃的底栖生物,在沉积物的表面上移动或
  • 近地天体近地天体 (near-Earth object, NEO)为太阳系内其轨道接近地球的天体。所有近地天体的轨道近日点都小于1.3天文单位,它们包括数以千计的近地小行星、接近的彗星、和大到在撞击到
  • 加特加特(阿拉伯语:غات‎,Ġāt)也译为甘特市,是利比亚西南部城市,加特省省会,靠近阿尔及利亚边境,地处古代撒哈拉商路上,曾为奴隶贸易中心。附近有世界文化遗产塔德拉尔特阿卡库斯岩