旋转不变性

在数学里，给予一个定义于内积空间的函数，假若对于任意旋转，函数的参数值可能会改变，但是函数的数值仍旧保持不变，则称此性质为旋转不变性（rotational invariance），或旋转对称性（rotational symmetry），因为函数对于旋转具有对称性。例如，假设以xyz-参考系的原点为固定点，任意旋转xyz-参考系，而函数 ${\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2}$ 的数值保持不变，因此，函数 ${\displaystyle f(x,y,z)}$ 对于任意旋转具有不变性，或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里，假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关，则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理，假若物理系统的作用量具有旋转不变性，则角动量守恒。

根据物理学家多年来仔细研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性。

假设一个量子系统的位势为球对称位势 ${\displaystyle V(r)}$ ，其哈密顿算符 ${\displaystyle H}$ 可以表示为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle r}$ 是径向距离。

现在，以 z-轴为旋转轴，旋转此系统的 x-轴与 y-轴 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 角弧，则新直角坐标 ${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ 与旧直角坐标的关系式为

偏导数为

那么，导数项目具有旋转不变性：

由于径向距离具有旋转不变性：

旋转之后，新的哈密顿算符 ${\displaystyle H^{\prime }}$ 是

所以，球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

假设一个量子系统的位势为球对称位势 ${\displaystyle V(r)}$ ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 ${\displaystyle R}$ 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 ${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

将 ${\displaystyle R}$ 作用于波函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y,z)}$ ，

其中，${\displaystyle L_z}$ 是角动量的 z-分量，${\displaystyle L_z=x{p}_y-<!--\; -\; -->y{p}_x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\left(x\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}-<!--\; -\; -->y\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)}$ 。

所以，旋转算符 ${\displaystyle R}$ 可以表达为

假设 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E(\mathbf{r})}$ 是哈密顿算符的能级本征态，则

由于 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 只是一个虚设变数，

在做一个微小旋转之后，

所以，${\displaystyle (RH-<!--\; -\; -->HR){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E(\mathbf{r})=0}$ 。哈密顿算符的能级本征态 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E(\mathbf{r})}$ 形成一组完备集 (complete set)，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

因此，

根据埃伦费斯特定理，${\displaystyle L_z}$ 的期望值对于时间的导数是

所以，

由于 ${\displaystyle L_z}$ 显性地不含时间，

总结，${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->L_z⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 不含时间，${\displaystyle L_z}$ 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地，可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以，整个角动量守恒。