射影表示

在表示论中，群 ${\displaystyle G}$ 在域 ${\displaystyle F}$ 上的向量空间 ${\displaystyle V}$ 上的射影表示指从${\displaystyle G}$到射影线性群${\displaystyle PGL}$的一个群同态

其中 ${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 表示在域${\displaystyle F}$上向量空间 ${\displaystyle V}$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 ${\displaystyle F^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 视为标量积映射 ${\displaystyle v\mapsto <!--\; \mapsto \; -->cv}$，其中 ${\displaystyle c\in <!--\; \in \; -->F^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$。

若 ${\displaystyle V}$ 维度有限，选定基底后可将 ${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 理解为 ${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(n,F)}$，即 ${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 阶可逆矩阵对正规子群 ${\displaystyle F^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}\mathrm{d}}_V}$ 之商群。

对于给定的群表示 ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$，与商映射 ${\displaystyle p:\mathrm{G}\mathrm{L}(V)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 合成后可得到一个射影表示。较常探讨的是逆向的问题：如何将一个射影表示 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 提升至一个表示 ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$，使得 ${\displaystyle p\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$？

对于提升问题，通常采取如下进路：取同态 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}:G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 与 ${\displaystyle p:\mathrm{G}\mathrm{L}(V)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ 的纤维积，得到一个中心扩张

其中 ${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{G}=\{(g,M)\in <!--\; \in \; -->G\times <!--\; \times \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)|p(M)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(g)\}}$。

这类扩张由群上同调 ${\displaystyle H^2(\mathrm{G}\mathrm{L}(V),F^{\ast <!--\; \ast \; -->})}$ 分类。若此扩张是平凡的，则 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$ 可提升至 ${\displaystyle G}$ 的表示。即使此表示无法提升，仍可退而求其次，藉群上同调研究扩张的性质，例如：扩张对应的上同调类 ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->H^2(\mathrm{G}\mathrm{L}(V),F^{\ast <!--\; \ast \; -->})}$ 满足 ${\displaystyle n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0}$ 当且仅当 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$ 可提升为某个中心扩张 ${\displaystyle 1\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n\to <!--\; \to \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)\to <!--\; \to \; -->1}$ 的 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$ 的表示。