集合

集合（英语：Set，或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体，（在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“一堆东西”。）集合里的事物（“东西”），叫作元素。若然 x {displaystyle x} 是集合 A {displaystyle A} 的元素，记作 x ∈ A {displaystyle xin A} 。集合是现代数学中一个重要的基本概念，而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍 ，另外可参见朴素集合论；关于对集合作公理化的理论，可见公理化集合论。简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：元素通常用 a ,   b ,   c ,   d ,   x {displaystyle a, b, c, d, x} 等小写字母来表示；而集合通常用 A ,   B ,   C ,   D ,   X {displaystyle mathbf {A, B, C, D, X} } 等大写字母来表示。当元素 a {displaystyle a} 属于集合 A {displaystyle mathbf {A} } 时，记作 a ∈ A {displaystyle ain mathbf {A} } 。当元素 a {displaystyle a} 不属于集合 A {displaystyle mathbf {A} } 时，记作 a ∉ A {displaystyle anot in mathbf {A} } 。如果 A ,   B {displaystyle mathbf {A, B} } 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B {displaystyle mathbf {A=B} }无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中， A = C {displaystyle A=C} 而 B = D {displaystyle B=D} ，因为它们正好有相同的元素。元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 { 2 , 4 } {displaystyle left{2,4right}} ， { 4 , 2 } {displaystyle left{4,2right}} 和 { 2 , 2 , 4 , 2 } {displaystyle left{2,2,4,2right}} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。集合 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} ，若 ∀ a ∈ A {displaystyle forall ain A} ，有 a ∈ B ∴ A ⊆ B {displaystyle ain Btherefore Asubseteq B} 。则称 A {displaystyle A} 是 B {displaystyle B} 的子集，亦称 A {displaystyle A} 包含于 B {displaystyle B} ，或 B {displaystyle B} 包含 A {displaystyle A} ，记作 A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} 或 B ⊇ A {displaystyle Bsupseteq A} ，否则称 A {displaystyle A} 不是 B {displaystyle B} 的子集，记作 A ⊈ B {displaystyle Ansubseteq B} 或 B ⊉ A {displaystyle Bnsupseteq A} 。若 A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} ，且 A ≠ B {displaystyle Aneq B} ，则称 A {displaystyle A} 是 B {displaystyle B} 的真子集，亦称 A {displaystyle A} 真包含于 B {displaystyle B} ，或 B {displaystyle B} 真包含 A {displaystyle A} ，记作 A ⫋ B {displaystyle Asubsetneqq B} 或 B ⫌ A {displaystyle Bsupsetneqq A} （有时也记作 A ⊂ B {displaystyle Asubset B} 或 B ⊃ A {displaystyle Bsupset A} ）。两个集合可以相"加"。 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 的并集是将 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 的元素放到一起构成的新集合。给定集合 A {displaystyle A} ， B {displaystyle B} ，定义运算 ∪ {displaystyle cup } 如下： A ∪ B = { e | e ∈ A {displaystyle Acup B={e|ein A} 或 e ∈ B } {displaystyle ein B}} 。 A ∪ B {displaystyle Acup B} 称为 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 的并集。作为集合间的二元运算， ∪ {displaystyle cup } 运算具有以下性质。一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 的交集，写作 A ∩ B {displaystyle Acap B} ，是既属于 A {displaystyle A} 的、又属于 B {displaystyle B} 的所有元素组成的集合。若 A ∩ B = ∅ {displaystyle Acap B=varnothing } ，则 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 称作不相交。给定集合 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} ，定义运算 ∩ {displaystyle cap } 如下： A ∩ B = { e | ∈ A {displaystyle Acap B={e|in A} 且 e ∈ B } {displaystyle ein B}} 。 A ∩ B {displaystyle Acap B} 称为 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 的交集。作为集合间的二元运算， ∩ {displaystyle cap } 运算具有以下性质。其它性质还有：两个集合也可以相"减"。 A {displaystyle A} 在 B {displaystyle B} 中的相对补集，国际上通常写作 B ∖ A {displaystyle Bsetminus A} ，中文教材中有时也会写作 B − A {displaystyle B-A} 。表示属于 B {displaystyle B} 的、但不属于 A {displaystyle A} 的所有元素组成的集合。在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U {displaystyle U} 的子集。这样， U − A {displaystyle U-A} 称作 A {displaystyle A} 的绝对补集，或简称补集（余集），写作 A ′ {displaystyle A'} 或 ∁ U A {displaystyle complement _{U}A} 。补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。给定集合 A {displaystyle A} ， B {displaystyle B} ，定义运算-如下： A − B = { e | e ∈ A {displaystyle A-B={e|ein A} 且 e ∉ B } {displaystyle enot in B}} 。 A − B {displaystyle A-B} 称为 B {displaystyle B} 对于 A {displaystyle A} 的差集，相对补集或相对余集。在上下文确定了全集 U {displaystyle U} 时，对于 U {displaystyle U} 的某个子集 A {displaystyle A} ，一般称 U − A {displaystyle U-A} 为 A {displaystyle A} （对于 U {displaystyle U} ）的补集或余集，通常记为 A ′ {displaystyle A'} 或 A ¯ {displaystyle {bar {A}}} ，也有记为 A c {displaystyle A^{text{c}}} , A ′ {displaystyle A'} , ∁ U A {displaystyle complement _{U}A} ，以及 ∁ A {displaystyle complement A} 的。作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：给定集合 A {displaystyle A} ， B {displaystyle B} ，定义对称差运算 △ {displaystyle vartriangle } 如下： A △ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) {displaystyle Avartriangle B=(A-B)cup (B-A)} 。作为集合间的二元运算， △ {displaystyle vartriangle } 运算具有如下基本性质：集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: Card ⁡ ( A ) ,   # A ,   | A | ,   A ¯ ,   A ¯ ¯ {displaystyle operatorname {Card} (A), #A, |A|, {bar {A}}, {bar {bar {A}}}} 。集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 { } {displaystyle {}} 或符号 ∅ {displaystyle varnothing } 表示。比如：在2004年，集合 A {displaystyle A} 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = ∅ {displaystyle A=varnothing } 。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。定义 类A如果满足条件“ ∃ B ( A ∈ B ) {displaystyle exists B(Ain B)} ”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为 Set ⁡ ( A ) {displaystyle operatorname {Set} (A)} 。否则称为本性类。这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。