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集合
✍ dations ◷ 2025-07-07 08:40:58 #集合
集合(英语:Set,或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。)集合里的事物(“东西”),叫作元素。若然
x
{displaystyle x}
是集合
A
{displaystyle A}
的元素,记作
x
∈
A
{displaystyle xin A}
。集合是现代数学中一个重要的基本概念,而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍 ,另外可参见朴素集合论;关于对集合作公理化的理论,可见公理化集合论。简单来说,所谓的一个集合,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。
一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。在数学交流当中为了方便,集合会有一些别名。比如:元素通常用
a
,
b
,
c
,
d
,
x
{displaystyle a, b, c, d, x}
等小写字母来表示;而集合通常用
A
,
B
,
C
,
D
,
X
{displaystyle mathbf {A, B, C, D, X} }
等大写字母来表示。当元素
a
{displaystyle a}
属于集合
A
{displaystyle mathbf {A} }
时,记作
a
∈
A
{displaystyle ain mathbf {A} }
。当元素
a
{displaystyle a}
不属于集合
A
{displaystyle mathbf {A} }
时,记作
a
∉
A
{displaystyle anot in mathbf {A} }
。如果
A
,
B
{displaystyle mathbf {A, B} }
两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作
A
=
B
{displaystyle mathbf {A=B} }无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中,
A
=
C
{displaystyle A=C}
而
B
=
D
{displaystyle B=D}
,因为它们正好有相同的元素。元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合
{
2
,
4
}
{displaystyle left{2,4right}}
,
{
4
,
2
}
{displaystyle left{4,2right}}
和
{
2
,
2
,
4
,
2
}
{displaystyle left{2,2,4,2right}}
是相同的,同样因为它们有相同的元素。集合
A
{displaystyle A}
、
B
{displaystyle B}
,若
∀
a
∈
A
{displaystyle forall ain A}
,有
a
∈
B
∴
A
⊆
B
{displaystyle ain Btherefore Asubseteq B}
。则称
A
{displaystyle A}
是
B
{displaystyle B}
的子集,亦称
A
{displaystyle A}
包含于
B
{displaystyle B}
,或
B
{displaystyle B}
包含
A
{displaystyle A}
,记作
A
⊆
B
{displaystyle Asubseteq B}
或
B
⊇
A
{displaystyle Bsupseteq A}
,否则称
A
{displaystyle A}
不是
B
{displaystyle B}
的子集,记作
A
⊈
B
{displaystyle Ansubseteq B}
或
B
⊉
A
{displaystyle Bnsupseteq A}
。若
A
⊆
B
{displaystyle Asubseteq B}
,且
A
≠
B
{displaystyle Aneq B}
,则称
A
{displaystyle A}
是
B
{displaystyle B}
的真子集,亦称
A
{displaystyle A}
真包含于
B
{displaystyle B}
,或
B
{displaystyle B}
真包含
A
{displaystyle A}
,记作
A
⫋
B
{displaystyle Asubsetneqq B}
或
B
⫌
A
{displaystyle Bsupsetneqq A}
(有时也记作
A
⊂
B
{displaystyle Asubset B}
或
B
⊃
A
{displaystyle Bsupset A}
)。两个集合可以相"加"。
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
的并集是将
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
的元素放到一起构成的新集合。给定集合
A
{displaystyle A}
,
B
{displaystyle B}
,定义运算
∪
{displaystyle cup }
如下:
A
∪
B
=
{
e
|
e
∈
A
{displaystyle Acup B={e|ein A}
或
e
∈
B
}
{displaystyle ein B}}
。
A
∪
B
{displaystyle Acup B}
称为
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
的并集。作为集合间的二元运算,
∪
{displaystyle cup }
运算具有以下性质。一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
的交集,写作
A
∩
B
{displaystyle Acap B}
,是既属于
A
{displaystyle A}
的、又属于
B
{displaystyle B}
的所有元素组成的集合。若
A
∩
B
=
∅
{displaystyle Acap B=varnothing }
,则
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
称作不相交。给定集合
A
{displaystyle A}
、
B
{displaystyle B}
,定义运算
∩
{displaystyle cap }
如下:
A
∩
B
=
{
e
|
∈
A
{displaystyle Acap B={e|in A}
且
e
∈
B
}
{displaystyle ein B}}
。
A
∩
B
{displaystyle Acap B}
称为
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
的交集。作为集合间的二元运算,
∩
{displaystyle cap }
运算具有以下性质。其它性质还有:两个集合也可以相"减"。
A
{displaystyle A}
在
B
{displaystyle B}
中的相对补集,国际上通常写作
B
∖
A
{displaystyle Bsetminus A}
,中文教材中有时也会写作
B
−
A
{displaystyle B-A}
。表示属于
B
{displaystyle B}
的、但不属于
A
{displaystyle A}
的所有元素组成的集合。在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集
U
{displaystyle U}
的子集。这样,
U
−
A
{displaystyle U-A}
称作
A
{displaystyle A}
的绝对补集,或简称补集(余集),写作
A
′
{displaystyle A'}
或
∁
U
A
{displaystyle complement _{U}A}
。补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。给定集合
A
{displaystyle A}
,
B
{displaystyle B}
,定义运算-如下:
A
−
B
=
{
e
|
e
∈
A
{displaystyle A-B={e|ein A}
且
e
∉
B
}
{displaystyle enot in B}}
。
A
−
B
{displaystyle A-B}
称为
B
{displaystyle B}
对于
A
{displaystyle A}
的差集,相对补集或相对余集。在上下文确定了全集
U
{displaystyle U}
时,对于
U
{displaystyle U}
的某个子集
A
{displaystyle A}
,一般称
U
−
A
{displaystyle U-A}
为
A
{displaystyle A}
(对于
U
{displaystyle U}
)的补集或余集,通常记为
A
′
{displaystyle A'}
或
A
¯
{displaystyle {bar {A}}}
,也有记为
A
c
{displaystyle A^{text{c}}}
,
A
′
{displaystyle A'}
,
∁
U
A
{displaystyle complement _{U}A}
,以及
∁
A
{displaystyle complement A}
的。作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:给定集合
A
{displaystyle A}
,
B
{displaystyle B}
,定义对称差运算
△
{displaystyle vartriangle }
如下:
A
△
B
=
(
A
−
B
)
∪
(
B
−
A
)
{displaystyle Avartriangle B=(A-B)cup (B-A)}
。作为集合间的二元运算,
△
{displaystyle vartriangle }
运算具有如下基本性质:集合的运算除了以上情况之外,集合间还具有以下运算性质:上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法:
Card
(
A
)
,
#
A
,
|
A
|
,
A
¯
,
A
¯
¯
{displaystyle operatorname {Card} (A), #A, |A|, {bar {A}}, {bar {bar {A}}}}
。集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用
{
}
{displaystyle {}}
或符号
∅
{displaystyle varnothing }
表示。比如:在2004年,集合
A
{displaystyle A}
是所有住在月球上的人,它没有元素,则
A
=
∅
{displaystyle A=varnothing }
。在数学上,空集非常重要。更多资讯请参阅空集。如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。集合也可以有无穷多个元素,这样的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”,会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论,数学家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。在更深层的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。定义 类A如果满足条件“
∃
B
(
A
∈
B
)
{displaystyle exists B(Ain B)}
”,则称类A为一个集合(简称为集),记为
Set
(
A
)
{displaystyle operatorname {Set} (A)}
。否则称为本性类。这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。
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