循环小数

${\displaystyle \mathbb{N}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Z}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Q}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.141592653\dots <!--\; \dots \; -->}$
自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828\dots <!--\; \dots \; -->}$
虚数单位 ${\displaystyle i=\sqrt{-<!--\; -\; -->1}}$
无穷大 ${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$

循环小数，是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。可分为有限循环小数和无限循环小数。

循环小数都为有理数的小数表示形式，例：

${\displaystyle \frac{5}{4}=1.25=1.25000000\cdots <!--\; \cdots \; -->=1.25\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0}}$

${\displaystyle \frac{1}{3}=0.3333333\cdots <!--\; \cdots \; -->=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}}$

${\displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857\cdots <!--\; \cdots \; -->=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{142857}}$

利用短除法可以将分数(有理数，${\displaystyle \mathbb{Q}}$)转化为循环小数。

例如${\displaystyle \frac{3}{7}}$可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

${\displaystyle \frac{1}{70}=0.0\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{142857}}$

${\displaystyle \frac{1}{70}=0.0\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{1}4285\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{7}}$

${\displaystyle \frac{1}{70}=0.0\{142857\}}$

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如${\displaystyle 1.000000\cdots <!--\; \cdots \; -->=1.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0}=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{9}=0.999999\cdots <!--\; \cdots \; -->}$

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如${\displaystyle \frac{1}{17}=0.05882352941176470588235294117647\cdots <!--\; \cdots \; -->=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0588235294117647}}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如${\displaystyle \frac{1}{17}={\frac{1}{11}}_{(16)}=0.0F0F{\cdots <!--\; \cdots \; -->}_{(16)}=0.{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0F}}_{(16)}}$