循环小数

✍ dations ◷ 2025-10-15 15:08:58 #数论,算术,有理数

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

循环小数,是从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字,依次不断地重复出现的小数。可分为有限循环小数和无限循环小数。

循环小数都为有理数的小数表示形式,例:

5 4 = 1.25 = 1.25000000 = 1.25 0 ¯ {\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}}

1 3 = 0.3333333 = 0. 3 ¯ {\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}

1 7 = 0. 142857 142857 = 0. 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}

利用短除法可以将分数(有理数, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } )转化为循环小数。

例如 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} 可以用短除法计算如下:

7|3.00000000000000000  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

1 70 = 0.0 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}

1 70 = 0.0 1 ˙ 4285 7 ˙ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}

1 70 = 0.0 { 142857 } {\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如 1.000000 = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ = 0.999999 {\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }

由于循环小数与进位制系统密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如 1 17 = 0. 0588235294117647 0588235294117647 = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如 1 17 = 1 11 ( 16 ) = 0. 0 F 0 F ( 16 ) = 0. 0 F ¯ ( 16 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}}

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