戴德金和

✍ dations ◷ 2025-12-07 13:37:55 #数论

戴德金和（Dedekind sum）是数学家戴德金在跟戴德金η函数有关的工作中提出的。

定义这个函数，首先要定义 $((x))$ $((x))$ ：若 $x {\displaystyle x}$ $x$ 是整数， $((x))=0$ $((x))=0$ ，否则为 $x--0.5$ $x--0.5$ ，其中 ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ 是最大而又不大于 $x {\displaystyle x}$ $x$ 的整数。

对于非零整数 $h, k {\displaystyle h,k}$ $h,k$ ，戴德金和 $s(h,k)$ $s(h,k)$ 定义为 $s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))$ $s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))$

若 $h, k {\displaystyle h,k}$ $h,k$ 互质且均大于0，有 $s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)$ $s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)$

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