递归

✍ dations ◷ 2025-06-27 02:34:48 #递归

递归（英语：Recursion），又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。例如，当两面镜子相互之间近似平行时，镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。例如，下列为某人祖先的递归定义：斐波那契数列是典型的递归案例：尽管有许多数学函数均可以递归表示，但在实际应用中，递归定义的高开销往往会让人望而却步。例如：一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这时你已经知道该怎么做的。如此的定义在数学中十分常见。例如，集合论对自然数的正式定义是：1是一个自然数，每个自然数都有一个后继，这一个后继也是自然数。以下是另一个可能更有利于理解递归过程的解释：这样就有一种更有趣的描述：“为了理解递归，则必须首先理解递归。”或者更准确地，按照安德鲁·普洛特金（英语：Andrew Plotkin）的解释：“如果你已经知道了什么是递归，只需记住答案。否则，找一个比你更接近侯世达的人；然后让他／她来告诉你什么是递归。”数学中常见的以递归形式定义的案例参见函数、集合以及分形等。、举例：编写一个程序使用递归求n的阶乘递归定义集关于递归定义集的经典示例，可透过自然数来说明：另一个有趣示例为，公理系统中，所有可导出命题之集合此集合称为，可导出之命题之集合，因为在数学基础方法中，依非创建性法构建的命题之集合，可能大于由公理系统及推理规则所递归构建出之集合，详细请参见哥德尔不完备定理有限次分割法为几何形式之递归，可用以创建类分形之图案。次分割原则的运作如后所述，从多个已被有限个标签标注的多边形开始，接着每个多边形仅根据其标签，继续细切到更小的多边形，此一细切的过程可不断重复。

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