内维尔Θ函数

内维尔Θ函数（Neville Theta functions）共有四个，定义如下：

${\displaystyle NevilleC(z,m)=\frac{\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->q(m{)}^{1/4}\ast <!--\; \ast \; -->(\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(q(m{)}^{(}k\ast <!--\; \ast \; -->(k+1))\ast <!--\; \ast \; -->cos((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->(2\ast <!--\; \ast \; -->k+1)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->z/K(m))))}{\sqrt{(}K(m))\ast <!--\; \ast \; -->m^{1/4}}}$${\displaystyle NevilleThetaC(z,m)=\frac{\sqrt{(}2\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->q(m{)}^{1/4}\ast <!--\; \ast \; -->(\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(q(m{)}^{k\ast <!--\; \ast \; -->(k+1)}\ast <!--\; \ast \; -->cos((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->(2\ast <!--\; \ast \; -->k+1)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->z/K(m))))}{\sqrt{(}K(m))\ast <!--\; \ast \; -->m^{1/4}}}$${\displaystyle NevilleThetaD(z,m)=\frac{\sqrt{(}(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1+2\ast <!--\; \ast \; -->(\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(q(m{)}^{(}{k}^2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->z/K(m)))))}{\sqrt{(}K(m))}}$${\displaystyle NevilleThetaN(z,m)=\frac{\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1+2\ast <!--\; \ast \; -->(\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((-<!--\; -\; -->1{)}^k\ast <!--\; \ast \; -->q(m{)}^{k^2}\ast <!--\; \ast \; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->z/K(m)))))}{\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->m{)}^{(}1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{K(m)}}}$

其中

尼维尔Θ函数也可以通过雅可比Θ函数的傅里叶级数来定义，并使得尼维尔Θ函数可以进一步被用于定义相对应的雅可比椭圆函数。

这种定义涉及到第一类完全椭圆积分。

利用Maple,将z=2.5,m=3 代人上列公式，即得： 与wolfram math结果相当：