奥尔－索末菲方程

奥尔－索末菲方程（英语：Orr–Sommerfeld equation）是流体力学中的一个特征值方程，用以描述黏性平行流动的二维线性扰动模态。当平行层流满足特定条件时，相应的纳维-斯托克斯方程的解会变得不稳定，此时可使用奥尔－索末菲方程判断流体动力稳定性的条件。

奥尔－索末菲方程以威廉·迈克法登·奥尔（英语：William McFadden Orr）与阿诺德·索末菲命名。

假设经扰动后的流速为

其中${\displaystyle (U(z),0,0)}$为未经扰动的基流。扰动速度有类波解${\displaystyle {\mathbf{u}}^{\prime }\propto <!--\; \propto \; -->\exp <!--\; \; -->(i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x-<!--\; -\; -->ct))}$。使用流函数（英语：Stream function）表示流动，由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔－索末菲方程：

其中${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$为流体的动力黏度，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$为流体密度，${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响，该方程可简化为瑞利方程（英语：Rayleigh's equation (fluid dynamics)）。

无量纲形式的奥尔－索末菲方程为：

其中${\displaystyle Re=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{U}_{0}h}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$为基流的雷诺数（${\displaystyle U_0}$为特征速度，${\displaystyle h}$为管道高度）。壁面（${\displaystyle z=z_1}$与${\displaystyle z=z_2}$）的无滑移边界条件为：

或

方程的特征值为${\displaystyle c}$，对应的特征向量为${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$。当波速${\displaystyle c}$的虚部为正时基流不稳定，微小扰动会以指数形式放大。