最速降线问题

最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题，是探讨在重力作用而忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，该以何种曲线行进才能令所需的时间最短。在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）。这条线段就是摆线，可以用变分学证明。

1638年，伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹，证明了此线是摆线，并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、莱布尼兹和洛必达都得出同一结论，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外，其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:${\displaystyle v=\sqrt{2gy}}$后达到了最大速度，则

整理折射定律式中的各项并平方得到

可以解得对有

代入v和v_m的表达式得到

这是一个由直径为的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

不变求微分，得到

最后整理得到

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为。对新旧两条路径，改变量为

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

因此最短时间的情况为

在垂直平面上，自原点${\displaystyle \left(0,0\right)}$至目的地${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$的最速降线具有以下数学形式：

这里的${\displaystyle y}$座标轴方向向下，且${\displaystyle y_1\ge <!--\; \ge \; -->0}$；${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$为此摆线参数表达式的参数，原点处${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0}$。

物体自原点沿最速降线滑至${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1}$处所需的时间可由以下积分式给出：

利用${\displaystyle ds=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}}$以及${\displaystyle v=\sqrt{2gy}}$，并以${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$作为参数，整理后得

自此摆线的参数式中易知${\displaystyle y}$的最大值为${\displaystyle k^2}$，此值必须等于摆线的绕转圆直径${\displaystyle 2r}$，因此

现假设终点与原点直线距离${\displaystyle l}$，且终点对原点的俯角为${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$。利用此摆线的参数式，可知

利用${\displaystyle l}$的关系式求出${\displaystyle r}$，并代回下滑时间中，得

综合上述，讨论在${\displaystyle l}$已知的情况下，下滑时间${\displaystyle t}$与俯角${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的关系为