群同态

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，给定两个群${\displaystyle (G,\ast <!--\; \ast \; -->)}$，并且它还在${\displaystyle h(u^{-<!--\; -\; -->1})=h(u{)}^{-<!--\; -\; -->1}}$的意义上映射逆元到逆元。因此我们可以说${\displaystyle h}$“兼容于群结构”。

过去同态${\displaystyle h(x)}$常用${\displaystyle x_h}$或${\displaystyle x^h}$来表示，它容易混淆于索引或一般下标。更新近的倾向是把群同态写在它们的自变量的右侧，省略括号，如此${\displaystyle h(x)}$简化成了${\displaystyle xh}$。这种方法因为其更适应自动机从左至右读字的习惯从而在某些广泛应用自动机理论的群论中颇为流行。

在考虑有额外的结构的群的数学领域中，同态不仅要满足上述的群结构，还要满足额外的结构。比如拓扑群的同态经常要求是连续的。

我们定义${\displaystyle h}$的核被映射到${\displaystyle H}$中单位元${\displaystyle e_h}$上的${\displaystyle G}$中元素的集合

定义${\displaystyle h}$的像为

核是${\displaystyle G}$的正规子群（事实上，${\displaystyle h\left(g^{-<!--\; -\; -->1}ug\right)=h(g{)}^{-<!--\; -\; -->1}h(u)h(g)=h(g{)}^{-<!--\; -\; -->1}{e}_{H}h(g)=e_H}$)，而像则是${\displaystyle H}$的子群。同态${\displaystyle h}$是单射（并叫做单同态）当且仅当${\displaystyle \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(h)=\{e_G\}}$。

同态的核和像可以被解释为对它接近于同构程度的程度。第一同构定理说明了群同态的像${\displaystyle \mathrm{i}\mathrm{m}(h)}$同构于商群${\displaystyle G/\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(h)}$。

如果${\displaystyle h:G\to <!--\; \to \; -->H}$和${\displaystyle k:H\to <!--\; \to \; -->K}$是群同态，则${\displaystyle h\circ <!--\; \circ \; -->k:G\to <!--\; \to \; -->K}$也是群同态。这证明所有群构成的类，和态射即群同态，一起构成一个范畴。

如果同态${\displaystyle h}$是双射，则你还可以证明它的逆映射仍是同态，这种${\displaystyle h}$叫做群同构；在这种情况下，群${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$被称为是“同构的”:它们只在元素的符号上有差异而对于所有实践用途都是同一的。

如果${\displaystyle h:G\to <!--\; \to \; -->G}$是群同态，我们称之为${\displaystyle G}$的自同态。如果它进一步的是双射并且因此是同构，则称为自同构。群${\displaystyle G}$的所有自同构的集合，带有函数复合作为运算，自身形成一个群，叫做${\displaystyle G}$的自同构群，记为${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)}$。例如说，${\displaystyle (\mathbb{Z},+)}$的自同构群只有两个元素，恒等变换和乘以${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$；它同构于${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$。

满同态是满射的同态，单同态是单射的同态。

如果${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$是阿贝尔群（就是交换群），则所有从${\displaystyle G}$到${\displaystyle H}$的群同态的集合${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,H)}$自身是阿贝尔群：两个同态的和${\displaystyle h+k}$定义为

${\displaystyle H}$的交换律对于证明${\displaystyle h+k}$也是群同态是必需的。同态的加法在如下意义上兼容于同态的复合：如果${\displaystyle f}$在${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K,G)}$中，${\displaystyle h}$, ${\displaystyle k}$是${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,H)}$的元素，并且${\displaystyle g}$在${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H,L)}$中，则

这证明了一个阿贝尔群的所有自同态的集合${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)}$形成了一个环，即${\displaystyle G}$的自同态环。例如，由两个${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$的直积构成的阿贝尔群（克莱因四元群）的自同态群同构于带有${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$内元素的${\displaystyle 2\times <!--\; \times \; -->2}$ 矩阵的环。上述兼容性还证明所有阿贝尔群带有群同态的范畴形成了预加法范畴；存在直积和良定义的核使这个范畴成为阿贝尔范畴的原型。