李氏括号

向量场中的李括号，于微分拓朴的数学领域下，称为Jacobi–李括号或向量场的交换子，是在一微分流形中作用在任意两个向量场 与 的算子，此一算子作用后也会形成向量场，以标示。

李括号 在概念上是沿着由生成向量流（英语：Vector flow）的微导，常写为 ("沿着 X 的Y 李微导")。这可以推广到沿着由生成的流上任意张量场的李导数。

李括号是个R-双线性算子，且将所有在流形 的光滑向量体转成（无限维）李代数。

李括号在微分几何与微分拓朴中相当重要，例如在作为非线性控制几何理论基础的弗罗贝尼乌斯定理中就可看到李括号。

李括号有下列三种定义，这三种定义不同，但是等价：

在一流形上的所有平滑向量场 可以视为作用在∞()的平滑函数 微分算子。的确，每个向量场 可成为在∞() 上的微分算子（导子），因此可定义 () 的函数，计算函数在方向()上点的值方向导数，更进一步，于∞()的任意微导都是源于唯一的平滑向量场。

一般来说，任意两微导 ${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_1}$ 的流 及 D 表示切线图导数算子（tangent map derivative operator），那么在点 ∈ 的 与 的李括号可以定义为 李导数：

这也测量了连续方向的failure of the flow${\displaystyle X,Y,-<!--\; -\; -->X,-<!--\; -\; -->Y}$:

虽上述李括号的定义为内在的（和流形上的座标选择无关)，但在实务上常常会想计算特定坐标系${\displaystyle \{x^i\}}$ 是R的某开子集，那么向量场 与 可以写成由平滑函数${\displaystyle X:M\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n}$ 雅可比矩阵 乘上 1 栏向量 与 。

向量场的李括号等同于所有在（也就是切线束的平滑截 ${\displaystyle TM\to <!--\; \to \; -->M}$ 与在上的向量场，由每点 ∈ 的标量乘向量后可以得到一个新的向量场 ，如此：

此处用向量场乘上标量函数 () ，及向量场与标量函数 如此引导出一具李括号的向量场至李代数。

若 与的李括号为零，表示在这些方向可以定义以 与作为座标向量场而内嵌入于之曲面：

定理: ${\displaystyle =0}$ 与 的流局部交换，此指对所有 ∈ 且足够小的, ，${\displaystyle ({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_t^Y{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_s^X)(x)=({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_s^X{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_t^Y)(x)}$。

而这为弗罗贝尼乌斯定理的特例。

在证明控制仿射无漂系统（driftless affine control system）的小时间局部可控制性（small-time local controllability、STLC）时，李氏括号是其中重要的一部分。

如上所述，李导数可被视为广义的李括号。其他可视为是（向量值微分形式）广义李括号的有弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（Frölicher–Nijenhuis bracket）