法里数列

✍ dations ◷ 2025-10-16 11:03:44 #数论,分数

数学上,阶的法里数列是0和1之间最简分数的数列,由小至大排列,每个分数的分母不大于。每个法里数列从0开始,至1结束,写作0⁄1和1⁄1,但有些人不把这两项包括进去。有时法里数列也称为法里级数,严格来说这名字不正确,因为法里数列的项不会加起来。

1至8阶的法里数列如下:

法里数列是以英国地质学家老约翰·法里得名,他关于这数列的信刊登在1816年的《哲学杂志》。法里猜测这数列的每一项都是相邻两项的中间分数;不过,以所知道的资料,他没有证明这个性质。法里的信给柯西读了,就给了一个证明在他的《数学习题》,把这结果归到法里上。其实,另一位数学家 C. Haros 曾在1802年发表了相类似的结果,几乎可以肯定法里和柯西都没看过。所以,法里的名字给了这个数列,是历史的一次意外。

阶的法里数列 F n {\displaystyle F_{n}} 互质的每个数的相应分数。所以 F 6 {\displaystyle F_{6}} ,其法里数列的中间项必定是1⁄2

从上, F n {\displaystyle F_{n}} 和⁄是法里数列的邻项,而有⁄ < ⁄,则它们之差⁄ − ⁄是1⁄。由于

上文就等于是说

例如1⁄3和2⁄5 F 5 {\displaystyle F_{5}} ,,和为正整数,及有 < 和 < ,则⁄和⁄在阶为 max ( b , d ) {\displaystyle \max(b,d)} 在某法里数列的邻项是⁄和⁄,及

则⁄是⁄和⁄的中间分数。换句话说,

又若⁄和⁄在某法里数列是邻项,则当法里数列的阶增加,它们间出现的第一项是

而这项第一次出现在+阶的法里数列中。

例如在1⁄3和2⁄5间出现的第一项是3⁄8,在 F 8 {\displaystyle F_{8}} ,它第一次于 F q {\displaystyle F_{q}} F q {\displaystyle F_{q}} 中最接近的邻项(这是两邻项中分母较大的)表示为连分数是

而另一邻项则会表示为

例如3⁄8有两个连分数表示:和,而它在 F 8 {\displaystyle F_{8}} 中的邻项为2⁄5,可写成;和1⁄3,可写成。

法里数列和福特圆之间有个有趣关连。

对每个最简分数p⁄q,有福特圆C,以 1 2 q 2 {\displaystyle {\frac {1}{2q^{2}}}} 为半径,以 ( p q , 1 2 q 2 ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}},{\frac {1}{2q^{2}}}\right)} 为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开,一是相切,但不会相交。若0 < p⁄q < 1,则与相切的福特圆正好是在某一法里数列中与p⁄q为邻项的分数。

例如C与C,C,C,C等相切。

F1--F8的福特圆图像如下:

Ford-Circles.gif

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