法里数列

数学上，阶的法里数列是0和1之间最简分数的数列，由小至大排列，每个分数的分母不大于。每个法里数列从0开始，至1结束，写作0⁄₁和1⁄₁，但有些人不把这两项包括进去。有时法里数列也称为法里级数，严格来说这名字不正确，因为法里数列的项不会加起来。

1至8阶的法里数列如下：

法里数列是以英国地质学家老约翰·法里得名，他关于这数列的信刊登在1816年的《哲学杂志》。法里猜测这数列的每一项都是相邻两项的中间分数；不过，以所知道的资料，他没有证明这个性质。法里的信给柯西读了，就给了一个证明在他的《数学习题》，把这结果归到法里上。其实，另一位数学家 C. Haros 曾在1802年发表了相类似的结果，几乎可以肯定法里和柯西都没看过。所以，法里的名字给了这个数列，是历史的一次意外。

阶的法里数列${\displaystyle F_n}$互质的每个数的相应分数。所以${\displaystyle F_6}$，其法里数列的中间项必定是1⁄₂。

从上，${\displaystyle F_n}$⁄和⁄是法里数列的邻项，而有⁄ < ⁄，则它们之差⁄ − ⁄是1⁄。由于

上文就等于是说

例如1⁄₃和2⁄₅在${\displaystyle F_5}$,,和为正整数，及有 < 和 < ，则⁄和⁄在阶为${\displaystyle max(b,d)}$⁄在某法里数列的邻项是⁄和⁄，及

则⁄是⁄和⁄的中间分数。换句话说，

又若⁄和⁄在某法里数列是邻项，则当法里数列的阶增加，它们间出现的第一项是

而这项第一次出现在+阶的法里数列中。

例如在1⁄₃和2⁄₅间出现的第一项是3⁄₈，在${\displaystyle F_8}$⁄，它第一次于${\displaystyle F_q}$⁄在${\displaystyle F_q}$中最接近的邻项（这是两邻项中分母较大的）表示为连分数是

而另一邻项则会表示为

例如3⁄₈有两个连分数表示：和，而它在${\displaystyle F_8}$中的邻项为2⁄₅，可写成；和1⁄₃，可写成。

法里数列和福特圆之间有个有趣关连。

对每个最简分数p⁄_q，有福特圆C，以${\displaystyle \frac{1}{2q^2}}$为半径，以${\displaystyle \left(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}\right)}$为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开，一是相切，但不会相交。若0 < p⁄_q < 1，则与相切的福特圆正好是在某一法里数列中与p⁄_q为邻项的分数。

例如C与C，C，C，C等相切。

F1--F8的福特圆图像如下：