帕斯卡矩阵

✍ dations ◷ 2025-08-17 04:25:50 #矩阵,组合数学

帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。

${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}$

其中 $S_{n}=L_{n}U_{n}$ $S_{n}=L_{n}U_{n}$

帕斯卡对称矩阵 $S_{n}$ $S_{n}$ 的元素为：

$S_{n}$ $S_{n}$ 的迹为：

帕斯卡下三角矩阵 $L_{6}$ $L_{6}$ 的逆为：

帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来：

映射出正负相间的伯努利数：

利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如：

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