最简分数

最简分数或既约分数指的是分子与分母互质的分数。若一分数可表为${\displaystyle \frac{p}{q}}$，且${\displaystyle p,q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$（整数），${\displaystyle (p,q)=1}$，则称${\displaystyle \frac{p}{q}}$为最简分数。假若p和q还有别的公因数，则其非最简分数。若${\displaystyle (p,q)=d}$，且设${\displaystyle p=k_{1}d,q=k_{2}d;k_1,k_2\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$则${\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{k_1}{k_2}}$。其中${\displaystyle \frac{k_1}{k_2}}$为${\displaystyle \frac{p}{q}}$的最简分数。最简分数也可参阅有理化分数的公式，尽量将分子和分母互为质数。每一个正有理数可以被表示为不可简化的分数。如果分数的分子和分母划分为它们的最大公因数，而这一项方法可以完全降低至最低的简化条件。为了找出分子和分母的最大公因数，当然可以使用辗转相除法或整数分解，就是要解决分数的分子和分母过大的问题。

最简分数例如${\displaystyle \frac{1}{3}}$、${\displaystyle \frac{4}{19}}$或${\displaystyle \frac{198}{17}}$。而${\displaystyle \frac{6}{4}}$不是，因为${\displaystyle (6,4)=2}$，因而${\displaystyle \frac{6}{4}=\frac{3}{2}}$

每一个有理数没有独特性的表示正分母的不可简化分数（虽然两者${\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{-<!--\; -\; -->2}{-<!--\; -\; -->3}}$ 都是不可简化的分数）。唯一性是独一无二主要因子分解的结果，自从出现 ${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$意味着${\displaystyle ad=bc}$，因此等号的双边必须共享相同的因式分解，设主要多重的因数${\displaystyle a}$，而${\displaystyle c}$也要出现${\displaystyle a}$的子集，方可证明${\displaystyle ad=bc}$。

不可简化的分数的概念可推论任何唯一分解整环之分式环：透过划分分子和分母的最大公因数，这一项元素的领域中可被写出它们的分数。特别适用越过其他领域的代数式。然而不可简化的分数在给定元素上，既使是同样的可逆元素，也是唯一较多人使用分子和分母的乘法。在有理数的情况下意旨任何数字具有两个最简分数，若跟分子和分母的正负号有关；在这种模糊的情况下可透过要求分母要被移除负号。在合理的功能的情况下，分母可以类似地被要求是一个首项。