特征多项式

在线性代数中，对一个线性自同态（取定基即等价于方阵）可定义其特征多项式，此多项式包含该自同态的一些重要性质，例如行列式、迹数及特征值。

设 ${\displaystyle \mathbb{F}}$ 为域（例如实数或复数域），对布于 ${\displaystyle \mathbb{F}}$ 上的 ${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 矩阵 ${\displaystyle A}$，定义其特征多项式为

这是一个 ${\displaystyle n}$ 次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

当 ${\displaystyle A}$ 为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，${\displaystyle p_A(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i)}$，其中 ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}$ 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 ${\displaystyle p_A(t)=t^2-<!--\; -\; -->\mathrm{t}\mathrm{r}(A)t+det(A)}$。一般而言，若 ${\displaystyle p_A(t)=t^n+a_{n-<!--\; -\; -->1}{t}^{n-<!--\; -\; -->1}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_0}$，则 ${\displaystyle a_0=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n}det(A)}$，${\displaystyle a_{n-<!--\; -\; -->1}=-<!--\; -\; -->\mathrm{t}\mathrm{r}(A)}$。

此外：