线性生成空间

✍ dations ◷ 2025-12-04 10:32:35 #抽象代数,线性代数

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在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。

给定域上的向量空间，集合（不必有限）的生成空间定义为所有包含的线性子空间的交集，称为由（或中的向量）生成的子空间。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 的有限子集，则生成空间为

的生成空间也可定义为中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证：中向量的有限线性组合的集合是包含的一个向量空间，反之任何包含的向量空间必然都包含中向量的有限组合，故两个定义是等价的。

如果的生成空间是，则称为的生成集合（spanning set）。的一个生成集合不必是的一组基，因其不必是线性无关的。但是，对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说，的生成集合是一组基当且仅当的任何向量可以惟一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果是无限维向量空间，是无穷集合，则中的无限个向量的线性组合（如果收敛的话）不一定属于的生成空间。

定理 1：向量空间的非空集合生成的子空间是中向量的所有有限线性组合；

定理 2：设是一个有限维向量空间，则的任何生成集合去掉一些向量（如果必要的话）可以简化为的一组基。

设 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 是线性空间 $W {\displaystyle W}$ $W$ 的两个线性包，线性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle$ $\left\langle U\cup V\right\rangle$ 称为 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 的和, $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ ,如果 $U\cap V=0$ $U\cap V=0$ ，则称 $U+V$ $U+V$ 为直和，记为 $U\oplus V$ $U\oplus V$

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