线性生成空间

✍ dations ◷ 2025-11-17 22:47:45 #抽象代数,线性代数

向量 · 向量空间 · 行列式 · 矩阵

标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积(向量积) · 内积(数量积)

矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解（LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开

线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化

在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。

给定域上的向量空间，集合（不必有限）的生成空间定义为所有包含的线性子空间的交集，称为由（或中的向量）生成的子空间。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 的有限子集，则生成空间为

的生成空间也可定义为中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证：中向量的有限线性组合的集合是包含的一个向量空间，反之任何包含的向量空间必然都包含中向量的有限组合，故两个定义是等价的。

如果的生成空间是，则称为的生成集合（spanning set）。的一个生成集合不必是的一组基，因其不必是线性无关的。但是，对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说，的生成集合是一组基当且仅当的任何向量可以惟一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果是无限维向量空间，是无穷集合，则中的无限个向量的线性组合（如果收敛的话）不一定属于的生成空间。

定理 1：向量空间的非空集合生成的子空间是中向量的所有有限线性组合；

定理 2：设是一个有限维向量空间，则的任何生成集合去掉一些向量（如果必要的话）可以简化为的一组基。

设 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 是线性空间 $W {\displaystyle W}$ $W$ 的两个线性包，线性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle$ $\left\langle U\cup V\right\rangle$ 称为 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 的和, $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ ,如果 $U\cap V=0$ $U\cap V=0$ ，则称 $U+V$ $U+V$ 为直和，记为 $U\oplus V$ $U\oplus V$

相关

奥洛他定盐酸奥洛他定（英语：Olopatadine）由东京的协和发酵工业株式会社研制，具有广泛的药物作用，如组织胺H1受体拮抗剂作用，化学介质抑制作用，速激肽释放抑制作用和嗜酸粒细胞浸润抑制作用
效果律效果律（英语：law of effect），1905年美国心理学家爱德华·桑代克以(尚未发展完全的)行为制约背后的一个概念为基底所提出的理论。而那个行为制约背后的概念，是“在一个特定的情境
马蹄马脚蹄，通常称为马蹄，是马的脚部长出来的蹄，正如人体长出脚甲一样，用以保护马的脚部。人工驯化的马匹，现多用作赛马用途。练马师为尽力保护马原生的马蹄，不让马儿因为长期奔跑而令
台江内海台江内海为17世纪台湾南部的一座大潟湖，简称台江，“内海”（lāi-hái）则为台语“潟湖”之意。此湖位于台南海岸边，是为台南市外海沙洲与海岸线中间所围绕而成，长度约为数十公里。
苯吡丙胺苯吡丙胺（Pheniramine）又称非尼拉敏、非尼腊明、抗感明、抗感敏或屈米通（Trimeton）等，是一种有抗胆碱能性质的抗组胺药，用作抗过敏药，用来治疗荨麻疹及过敏性鼻炎等。具有相对较强
柬埔寨参议院民选议员 (58) 指定议员 (4) 柬埔寨参议院（高棉语：ព្រឹទ្ធសភានៃព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា, Protsaphea）是柬埔寨国会的上院。上一次参议院选
晶体拓扑结构拓扑结构或拓扑网是晶体学上的一个概念，它是将晶体中的节点以拓扑形式的简化。它在沸石材料、金属有机框架材料等晶体工程（英语：crystal engineering）领域有着重要应用。不同类
城岛光力城岛光力（1947年1月1日－），日本政治人物。本名城岛正光（じょうじままさみつ）。曾任众议院议员（4期）、民主党国会对策委员长（第17代）、财务大臣（第16代）等职。菅直人内阁（模板）第一次改造
神探亨特张《神探亨特张》（英语：）是一部高群书根据真人真事改编的中国剧情片，由张立宪等一众非职业演员担任主演，于2012年7月20日上映。片名源自曾于中国大陆热播的美国电视剧《神探亨特》
Affection‘affection’为日本歌手倖田来未的首张原创专辑，于2002年3月27日发行。