线性生成空间

✍ dations ◷ 2025-07-09 16:10:23 #抽象代数,线性代数

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在数学分支线性代数之中,向量空间中一个向量集合的线性生成空间(linear span,也称为线性包 linear hull),是所有包含这个集合的线性子空间的交集,从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。

给定域 上的向量空间 ,集合 (不必有限)的生成空间定义为所有包含 的线性子空间 的交集 ,称 为由 (或 中的向量)生成的子空间。

如果 S = { v 1 , . . . , v r } {\displaystyle S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,} 的有限子集,则生成空间为

的生成空间也可定义为 中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证: 中向量的有限线性组合的集合是包含 的一个向量空间,反之任何包含 的向量空间必然都包含 中向量的有限组合,故两个定义是等价的。

如果 的生成空间是 ,则 称为 的生成集合(spanning set)。 的一个生成集合不必是 的一组基,因其不必是线性无关的。但是,对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说, 的生成集合是一组基当且仅当 的任何向量可以惟一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果 是无限维向量空间, 是无穷集合,则 中的无限个向量的线性组合(如果收敛的话)不一定属于 的生成空间。

定理 1:向量空间 的非空集合 生成的子空间是 中向量的所有有限线性组合;

定理 2:设 是一个有限维向量空间,则 的任何生成集合 去掉一些向量(如果必要的话)可以简化为 的一组基。

U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} 是线性空间 W {\displaystyle W} 的两个线性包,线性包 U V {\displaystyle \left\langle U\cup V\right\rangle } 称为 U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} 的和, U + V = U V = { u + v | u U , v V } {\displaystyle U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}} ,如果 U V = 0 {\displaystyle U\cap V=0} ,则称 U + V {\displaystyle U+V} 为直和,记为 U V {\displaystyle U\oplus V}

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