线性生成空间

✍ dations ◷ 2025-04-02 19:09:27 #抽象代数,线性代数

向量 · 向量空间 · 行列式 · 矩阵

标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积(向量积) · 内积(数量积)

矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解（LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开

线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化

在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。

给定域上的向量空间，集合（不必有限）的生成空间定义为所有包含的线性子空间的交集，称为由（或中的向量）生成的子空间。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 的有限子集，则生成空间为

的生成空间也可定义为中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证：中向量的有限线性组合的集合是包含的一个向量空间，反之任何包含的向量空间必然都包含中向量的有限组合，故两个定义是等价的。

如果的生成空间是，则称为的生成集合（spanning set）。的一个生成集合不必是的一组基，因其不必是线性无关的。但是，对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说，的生成集合是一组基当且仅当的任何向量可以惟一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果是无限维向量空间，是无穷集合，则中的无限个向量的线性组合（如果收敛的话）不一定属于的生成空间。

定理 1：向量空间的非空集合生成的子空间是中向量的所有有限线性组合；

定理 2：设是一个有限维向量空间，则的任何生成集合去掉一些向量（如果必要的话）可以简化为的一组基。

设 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 是线性空间 $W {\displaystyle W}$ $W$ 的两个线性包，线性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle$ $\left\langle U\cup V\right\rangle$ 称为 $U {\displaystyle U}$ $U$ 与 $V {\displaystyle V}$ $V$ 的和, $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ ,如果 $U\cap V=0$ $U\cap V=0$ ，则称 $U+V$ $U+V$ 为直和，记为 $U\oplus V$ $U\oplus V$

相关

图像处理small/small图像处理是指对图像进行分析、加工、和处理，使其满足视觉、心理或其他要求的技术。图像处理是信号处理在图像领域上的一个应用。当前大多数的图像均是以数字形式存储，因而图像
生活风格社会学中，生活型态（或生活风格、生活方式）是一个人（或团体）生活的方式。这包括了社会关系模式、消费模式、娱乐模式和穿着模式。生活型态通常也反映了一个人的态度、价值观或世界
木星by volume:冰：木星是距离太阳第五近的行星，也是太阳系中体积最大的行星，目前已知有六十余颗卫星。古代的天文学家就已经知道这颗行星，罗马人以他们的神称这颗行星为朱庇特。古
世界设计之都世界设计之都（英语：The World Design Capital，简称WDC）是一个由国际工业设计社团协会（ICSID）所认定并授奖的城市推动计划。自2008年起，每两年由全球投件申请的城市中选出一个城市作
张乃通张乃通（1934年7月17日－2017年4月21日），江苏扬州人。通信与信息系统学科专家。1956年毕业于南京工学院（现东南大学）无线电工程系，1956年至1958年在清华大学无线电系进修任助教。1958
扫秒机芯扫秒机芯是对手表、钟表等指针式计时工具秒计时方式的分类。根据秒针走动的方式，分为扫秒和跳秒。扫秒即秒针连续走时（人眼看不出有间歇），跳秒即人眼能够感觉到秒针跳动，通常跳动
绝缘电阻测试绝缘电阻测试是测试和检验电气设备的绝缘性能的常规手段，同时也是高压绝缘试验的预备试验。和耐压测试相似，它是把最高可达1000V的直流电压施加到需要测试的两点。绝缘电阻测
安藤谦吉安藤谦吉（安藤谦吉；1950年5月3日－于岐阜市）是一名日本举重运动员，他曾在1976年蒙特利尔奥运会中获得一枚铜牌。
万卡万卡（Ванька），又译凡卡。写于1886年。是俄国作家契诃夫的短篇小说，是苦恼的姊妹篇。九岁的俄国男孩万卡·茹科夫三个月前被送到靴匠阿里亚兴的铺子里来做学徒。在圣诞节的
小朗·钱尼小朗·钱尼（英语：Lon Chaney, Jr.，1906年2月10日－1973年7月12日），又译作小隆·查内，原名克赖顿·塔尔·钱尼，是美国的一位性格演员。因其饰演怪物以及父亲是著名的无声电影演员朗·