控制变量法

✍ dations ◷ 2025-12-10 05:00:44 #蒙地卡罗方法,计算统计学

控制变量法（英语：control variates）是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

假设要估计的参数为 $\mu$ 个样本 $u_{1},\cdots ,u_{n}$ $u_{1},\cdots ,u_{n}$ ，该估计可表示为

此时，我们引入控制变量 $g(U)=1+U$ $g(U)=1+U$ ，其已知期望值为 $\mathbb {E} \left=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}$ $\mathbb {E} \left=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}$ 。由此，可以得到新的估计

以下为 $n=1500$ $n=1500$ 并使用估计的最优系数 $c^{\star }\approx 0.4773$ $c^{\star }\approx 0.4773$ 时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

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