极限

✍ dations ◷ 2025-04-02 18:04:28 #极限
极限是现代数学特别是分析学中的基础概念之一。极限可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时,序列中元素的性质变化的趋势。极限也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候,相对应的函数值变化的趋势。作为微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一,连续和导数的概念都是通过极限来定义的。“函数的极限”这个概念可以更一般地推广到网中,而“序列的极限”则与范畴论中的极限和有向极限的概念密切相关。对于序列(sequence) a n = 1 n {displaystyle a_{n}={tfrac {1}{n}}} 随着n的增大, a n {displaystyle a_{n}} 从0的右侧越来越接近0,于是可以认为0是这个序列的极限(虽然这个结论是正确的,但是它仍需要证明)。柯西(Cauchy)在19世纪给出了极限的严格定义: 设 { x n } , x n ∈ R , n = 1 , 2 , … , x 0 ∈ R {displaystyle {x_{n}},x_{n}in mathrm {R} ,n=1,2,ldots ,x_{0}in mathrm {R} } ,对于任意的正实数 ϵ {displaystyle epsilon } ,存在自然数 N {displaystyle {mathit {N}}} ,使得当 n > N {displaystyle {mathit {n>N}}} 时,有 | x n − x 0 | < ϵ {displaystyle |x_{n}-x_{0}|<epsilon } ,用符号来表示即 ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ n > N , | x n − x 0 | < ϵ {displaystyle forall epsilon >0,exists Nin mathbb {N} ,forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<epsilon }则称数列 { x n } {displaystyle {x_{n}}} 收敛于 x 0 {displaystyle x_{0}} ,记作 lim n → ∞ x n = x 0 {displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=x_{0}} 。直观地说,这就说明序列的元素(element)随着n的增大越来越靠近 x 0 {displaystyle x_{0}} ,因为上面的绝对值也可以用来刻画距离。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说,不是所有的序列都有极限的。如果一个序列是有极限的,我们称这个数列收敛,否则称其为发散。可以证明,如果一个序列是收敛的,那么它有且仅有一个极限。序列的极限和函数(function)的极限之间的关系是相当密切的。一方面,序列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面,一个函数在 x {displaystyle x} 处的极限(如果存在),与序列 { x n ∣ x n = f ( x + 1 n ) } {displaystyle {x_{n}mid x_{n}=f(x+{tfrac {1}{n}})}} 的极限是相同的。假设 f ( x ) {displaystyle f(x)} 是一个实函数, C {displaystyle C} 是一个实数,那么表示 f ( x ) {displaystyle f(x)} 可以任意地靠近 L {displaystyle L} ,只要我们让 x {displaystyle x} 充分靠近 c {displaystyle c} 。此时,我们说当 x {displaystyle x} 趋向 c {displaystyle c} 时,函数 f ( x ) {displaystyle f(x)} 的极限是 L {displaystyle L} 。值得特别指出的是,这个定义在 f ( c ) ≠ L {displaystyle f(c)neq L} 的时候同样是成立的。事实上,即使 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在 c {displaystyle c} 点没有定义,我们仍然可以定义上述的极限。以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助:考虑函数 f ( x ) = x x 2 + 1 {displaystyle f(x)={frac {x}{x^{2}+1}}} 在 x {displaystyle x} 趋向 2 {displaystyle 2} 的时候的性质,此时 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在 x = 2 {displaystyle x=2} 这点是有定义的,因为 f ( 2 ) = 0.4 {displaystyle f(2)=0.4} 。当 x {displaystyle x} 趋向 2 {displaystyle 2} 的时候,函数值趋向 0.4 {displaystyle 0.4} ,因此我们有极限 lim x → 2 f ( x ) = 0.4 {displaystyle lim _{xto 2}f(x)=0.4} 。在这种情况下,即函数在某一点的取值和当 x {displaystyle x} 趋向这一点的极限值相同的时候,我们称 f {displaystyle f} 在 x = c {displaystyle x=c} 这一点是连续的。当然,这是相当特殊的情况,考虑那么当 x {displaystyle x} 趋于 2 {displaystyle 2} 的时候, g ( x ) {displaystyle g(x)} 的极限与前面的 f ( x ) {displaystyle f(x)} 相同,都是 0.4 {displaystyle 0.4} 。但是请注意 g ( 2 ) ≠ 0.4 {displaystyle g(2)neq 0.4} ,这就是说, g ( x ) {displaystyle g(x)} 在 x = 2 {displaystyle x=2} 是不连续。或者考虑这样一个例子,使得 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在 x = c {displaystyle x=c} 时没有定义:当 x {displaystyle x} = 1 {displaystyle 1} 时, f ( x ) {displaystyle f(x)} 是没有定义的,但极限存在,即 lim x → 1 f ( x ) = 2 {displaystyle lim _{xto 1}f(x)=2} :在 x ≠ 1 {displaystyle xneq 1} 的情况下, x {displaystyle x} 可以任意靠近 1 {displaystyle 1} ,从而 f ( x ) {displaystyle f(x)} 的极限为 2 {displaystyle 2} 。形式上讲,极限可以这样定义:命 f {displaystyle f} 是一个定义于包含 c {displaystyle c} 的开区间(或此开区间剔除 c {displaystyle c} )上的实值函数,命 L {displaystyle L} 是一个实数,那么表示对于任意的 ε   > 0 {displaystyle varepsilon >0} ,都存在一个对应的 δ   > 0 {displaystyle delta >0} 使得:当 x {displaystyle x} 满足 0 < | x − c | < δ   {displaystyle 0<|x-c|<delta } 时总有 | f ( x ) − L | < ε   {displaystyle |f(x)-L|<varepsilon } 成立。与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为: x {displaystyle x} 距离无穷远越来越小的状态,因为无穷不是一个给定的数,也不能比较距离无穷的远近。因此,我们用 x {displaystyle x} 越来越大(如果讨论正无穷时)来替代。例如考虑 f ( x ) = 2 x x + 1 {displaystyle f(x)={frac {2x}{x+1}}} .当 x {displaystyle x} 非常大的时候, f ( x ) {displaystyle f(x)} 的值会趋于 2 {displaystyle 2} 。事实上, f ( x ) {displaystyle f(x)} 与 2 {displaystyle 2} 之间的距离可以变得任意小,只要我们选取一个足够大的 x {displaystyle x} 就可以了。此时,我们称 f ( x ) {displaystyle f(x)} 趋向于(正)无穷时的极限是 2 {displaystyle 2} 。可以写为形式上,我们可以这样定义:类似地,我们也可以定义:如果考虑将 f {displaystyle f} 的定义域推广到扩展的实数轴,那么函数在无穷远的极限也可以看作在给定点的极限的特例。以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立在引入网的概念下,上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上,现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的,上述的例子都是拓扑空间的具体化。极限的符号为lim,它出自拉丁文limit(界限)的前三个字母。在1786年出版的德国人浏伊连(S. L'Huilier)的书中,第一次使用这个符号。不过,“x趋于a”当时都记作“x=a”,直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。

相关

  • 共生共生一词在英文或是希腊文,字面意义就是“共同”和“生活”,这是两生物体之间生活在一起的交互作用,甚至包含不相似的生物体之间的吞噬行为。术语“宿主”通常被用来指共生关系
  • 戴维·巴尔的摩戴维·巴尔的摩(英语:David Baltimore,1938年3月7日-),美国生物学家,1975年诺贝尔生理学或医学奖获得者之一。他是加州理工学院生物学教授,并曾在1997年到2006年期间担任校长。他还
  • 硫血红蛋白硫血红蛋白为一种血红蛋白的变体,本身呈绿色,当它形成后便不能转回正常的血红蛋白。即使很少分量的硫血红蛋白在血液中存在,亦会造成发绀。其出现是罕见的现象,硫化氢(或硫离子)和
  • 松冈洋右松冈洋右(1880年3月4日-1946年6月27日),日本外交官、政治家。处理过日本退出国际联盟,签定日德意三国联盟,日苏中立条约等第二次世界大战(太平洋战争)全面爆发前日本外交的多次重要
  • 罗红霉素罗红霉素(英语:Roxithromycin)是一种半合成的大环内酯类抗生素,一般用于治疗呼吸道、尿道和软组织感染。罗红霉素是红霉素的衍生物,同样含有十四原环的内酯环。但是,一条氮-肟侧链
  • 临床工程临床工程,又名临床工程学,是生物医学工程专业的一个分支,是一门关于临床医学和工程学的交叉学科。美国临床工程学会把临床工程师定义为在医疗卫生领域中应用工程和管理手段,来支
  • 罗曼什语罗曼什语(法语:Romanche,德语:Rätoromanisch,意大利语:Romancio,Rumantsch / Romontsch / Rumauntsch,中文也译作列支罗曼语、拉丁罗曼语、罗曼列支语)属印欧语系罗曼语族,是瑞士四种
  • 伯克氏菌属等伯克氏菌属,或伯克氏菌,又译伯克霍尔德菌(学名:Burkholderia),是伯克氏菌科的一个属,这个属下最出名的有鼻疽伯克氏菌(B. mallei),是一种会在马或其他相关动物身上引起马鼻疽的病菌;
  • span class=chemf style=white-space:nowrap;Csub30/sub三十烷(triacontane)是含30个碳原子的直链烷烃,化学式C30H62,外观为无色蜡状固体。其衍生物三十烷醇是一种见于多种植物,例如玫瑰的植物激素。
  • 蒋观德蒋观德(1958年9月23日-2013年1月27日),美籍华裔生物学家。生于中华民国(台湾),12岁赴美,(1975年)于麻省理工学院获学士学位,(1979年)于约翰霍普金斯大学获博士学位。1985年到美国