舒勃尼科夫-德哈斯效应

舒勃尼科夫-德哈斯效应（Shubnikov–de Haas effect、SdH）是指在低温和强磁场条件下，材料的电导率随磁场变化出现振荡的现象，最初由万德尔·德哈斯和列夫·舒勃尼科夫于1930年发表。舒勃尼科夫-德哈斯效应是物质内在的量子力学性质在宏观上的一种表现。舒勃尼科夫-德哈斯效应也常常被用于确定载流子的有效质量。

在低温和强磁场条件下，位于导带的自由电子的运动模式类似于简谐振子。若磁场强度发生变化，简谐振子的振荡周期也会随之变化，产生的能谱由朗道能级构成。这些朗道能级会进一步分裂成塞曼能级。每一朗道能级内的共振能量、塞曼能量和电子态的数量（eB/h）都会随磁场的增大而增大。当某一能级高于费米能，位于此能级的电子开始自由流动，造成材料的电输运性质和热力学性质产生周期性的振荡，其中电导率的振荡即为舒勃尼科夫-德哈斯效应。

对于盒中的二维电子气体（英语：Two-dimensional electron gas），在有磁场的条件下，系统的能量特征值可用朗道能级来描述。如右图所示，每一能级在中央区域都较为平坦，而在边缘区域都向上弯曲。

若费米能 E_F 位于图一所示的两个朗道能级之间（红色虚线），电子在材料内部的散射只发生在边缘部分。对应的电子态常被称作“边缘通道（edge channels）”。

Landauer-Büttiker 理论（弹道输运）可用于描述此类电子输运。运用 Landauer-Büttiker 理论可计算多个接触点 1 ≤ m ≤ n 之间的净电流 I_m。若化学势为 µ_m，则

${\displaystyle I_m=2\frac{e\cdot <!--\; \cdot \; -->i}{h}\left({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_m-<!--\; -\; -->\underset{l\ne <!--\; \ne \; -->m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{T}_{ml}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_l\right)}$ 为基本电荷，h 为普朗克常数，i 表示边缘通道的数量。矩阵 T_ml 表示从一个不为 m 的接触点 l 传输一个电子到接触点 m 的概率。净电流 I_m 在 (1) 式中由进入接触点 m 的电流和从接触点 m 传导至所有其他接触点 l ≠ m 的电流构成。

舒勃尼科夫-德哈斯效应可以用于确定样品的二维电子密度。对于给定的磁通量 ${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$，以及磁通量 Φ = B ∙ A，式 (2) 化为：

令 N 为单位面积上状态数量的最大值，则 D = N ∙ A 且

对于给定的 i 个边缘通道，且每一个边缘通道都在单位面积内被 N 个电子填满，单位面积内的总电子数 n 为

单位面积内的总电子数 n 常被当作样品的电子密度。另外，

${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\left(\frac{1}{B}\right)=\frac{1}{B_{i+1}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{B_i}=\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->e}{n\cdot <!--\; \cdot \; -->h}}$

(3)

对于给定的样品，式 (3) 右侧的物理量均为常数。若绘制边缘通道 i 关于其对应的磁通量密度的倒数 1/B_i，可得一条斜率为 ${\displaystyle \frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->e}{n\cdot <!--\; \cdot \; -->h}}$ 的直线，由斜率可计算样品的电子密度 n。例如，右图中测量了高掺杂的Bi₂Se₃的舒勃尼科夫-德哈斯效应，并对得到的数据点进行线性拟合。根据所得的斜率 0.00618/T，可计算此样品的电子密度

另外，通过施加不同方向的磁场并测量振荡周期，舒勃尼科夫-德哈斯效应还能用于构建样品电子费米面的图像。