正弦定理

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$，，的三角形，对应角分别是${\displaystyle A}$向${\displaystyle c}$的垂线和两个直角三角形。

很明显：

和

因此：

和

同理：

作${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$的外接圆，设半径为${\displaystyle R}$，${\displaystyle BC=a}$

由于${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A}$与${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}D}$所对的弧都为${\displaystyle BC}$，根据圆周角定理可了解到

由于${\displaystyle BD}$为外接圆直径，

所以

因为${\displaystyle BC=a=2R}$，可以得到

所以可以证明

线段${\displaystyle BD}$是圆的直径根据圆内接四边形对角互补的性质

所以

因为${\displaystyle BD}$为外接圆的直径${\displaystyle BD=2R}$。根据正弦定义

变形可得

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即

若三面角的三个面角分别为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$、${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$、${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，它们所对的二面角分别为${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$，则

${\displaystyle \frac{OA}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OBA}=\frac{OB}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OAB},\frac{OB}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OCB}=\frac{OC}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OBC},\frac{OC}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ODC}=\frac{OD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OCD},\frac{OD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OED}=\frac{OE}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ODE},\frac{OE}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OAE}=\frac{OA}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OEA}}$

${\displaystyle \frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OAB\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OBC\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OCD\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ODE\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OEA}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OBA\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OCB\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ODC\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OED\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}OAE}=\frac{OB\cdot <!--\; \cdot \; -->OC\cdot <!--\; \cdot \; -->OD\cdot <!--\; \cdot \; -->OE\cdot <!--\; \cdot \; -->OA}{OA\cdot <!--\; \cdot \; -->OB\cdot <!--\; \cdot \; -->OC\cdot <!--\; \cdot \; -->OD\cdot <!--\; \cdot \; -->OE}=1}$

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