几何中心

n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。形心是三角形的几何中心，通常也称为重心，三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点，此点即为重心。用赛瓦定理逆定理可以直接证出：因此三线共点。中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于 ( x a , y a ) {displaystyle (x_{a},y_{a})} ， ( x b , y b ) {displaystyle (x_{b},y_{b})} ，和 ( x c , y c ) {displaystyle (x_{c},y_{c})} ，那么几何中心位于：三角形的中心一般用字母G表示。在任何一个三角形中，外心O、中心M、九点圆圆心F和垂心H四点共线，且 O G ¯ : O F ¯ : O H ¯ = 1 : 2 : 3 {displaystyle {overline {OG}}:{overline {OF}}:{overline {OH}}=1:2:3} 。这个定理最早由欧拉证明，故称为欧拉定理，这条线称为欧拉线。类似的有，内心I、中心G和奈格尔点N三点共线，且 I G ¯ : I N ¯ = 1 : 3 {displaystyle {overline {IG}}:{overline {IN}}=1:3} 。三角形中心的等角共轭点称为类似重心。设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样所以， A G = G O = 2 G D {displaystyle AG=GO=2GD,} ，或 A G : G D = 2 : 1 {displaystyle AG:GD=2:1,} ，这对任何中线都成立。类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何 n {displaystyle n} -维单形。如果单形的顶点集是 v 0 , . . . , v n {displaystyle {v_{0},...,v_{n}}} ，将这些顶点看成向量，几何中心位于：一个由N个顶点（xi , yi）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：记号（ xN , yN）与顶点（ x0 , y0）相同。多边形的面积为：多边形的中心由下式给出：给定有限点集 x 1 , x 2 , … , x k {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{k}} 属于 R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ，它们的中心定义 C {displaystyle C} 为面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。对于两部分组成的图形，将有如下等式：y ¯ {displaystyle {overline {y}}} 是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。 A {displaystyle A} 是特定部分的面积。当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：这里从y-轴到中心的距离是 x ¯ {displaystyle {overline {x}}} ，从x-轴到中心的距离是 y ¯ {displaystyle {overline {y}}} ，中心的坐标是 ( x ¯ , y ¯ ) {displaystyle ({overline {x}},{overline {y}})} 。一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分这里f（x）是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 x ¯ {displaystyle {bar {x}}} 。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。对任意维数n，由相同的公式得出 R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} 中一个对象的中心第一个坐标，假设f (x)是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的（n-1）-维测度。注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的平均。当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。