普法夫值

在数学中，普法夫值（英文：Pfaffian）pf(A) 是矩阵A的行列式的平方根。若A是反对称矩阵，

${\displaystyle (pf(A){)}^2=det(A)}$

即 斜对称矩阵的行列式总是可以写成矩阵元素构成的整系数多项式的平方，且系数只取决于矩阵的大小。该多项式的值被称为该斜对称矩阵的普法夫值。

若A是2n x 2n的反对称矩阵

${\displaystyle pf(A^t)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n}pf(A)}$

${\displaystyle pf(cA)=c^{n}pf(A)}$

若B是任何2n x 2n矩阵

${\displaystyle pf(BA{B}^t)=det(B)pf(A)}$

若${\displaystyle A^{t}B}$是正定矩阵

${\displaystyle pf(A)pf(B)=\exp <!--\; \; -->(\frac{1}{2}tr(\log <!--\; \; -->(A^{t}B)))}$

不然的是

${\displaystyle pf(A)pf(B)=\frac{1}{n!}{B}_n(s_1,\dots <!--\; \dots \; -->,s_n),s_k=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(k-<!--\; -\; -->1)!tr(AB{)}^k}$

其中的B是贝尔多项式（英语：Bell polynomials）。