概形

✍ dations ◷ 2025-08-03 19:25:58 #概形

概形（scheme）是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的，其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题，例如威尔猜想（英语：Weil conjectures）。建立在交换代数的基础之上，概形理论允许使用拓扑学、同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

给定一个局部赋环空间 ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ 。

一个局部赋环空间 ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ $(X,{mathcal {O}}_{X})$ 称为概形，如果 ${displaystyle X}$ $X$ 的每一点 ${displaystyle x}$ $x$ 都有仿射开邻域，即包含 ${displaystyle x}$ $x$ 的仿射开集。

直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

全体概形构成范畴，其态射取为局部赋环空间之间的态射（另见概形的态射（英语：morphism of schemes））。给定概形 ${displaystyle Y}$ $Y$ ，所谓 ${displaystyle Y}$ $Y$ 之上的概形 ${displaystyle X}$ $X$ （又称 ${displaystyle Y}$ $Y$ -概形）即是概形间的态射 ${displaystyle Xto Y}$ $Xto Y$ 。交换环 ${displaystyle R}$ $R$ 上的概形 ${displaystyle X}$ $X$ 即是态射 ${displaystyle Xto operatorname {Spec} (R)}$ ${displaystyle Xto operatorname {Spec} (R)}$ 。

域 ${displaystyle k}$ $k$ 上的代数簇可定义为 ${displaystyle k}$ $k$ 上的满足特定条件的概形，但对于具体何种概形可称为簇，有不同约定，其中一种定义为 ${displaystyle k}$ $k$ 之上有限型（英语：Morphism of finite type）的整、分离概形。

态射 ${displaystyle f:Xto Y}$ $f:Xto Y$ 确定了正则函数环上的拉回同态 ${displaystyle f^{*}:{mathcal {O}}(Y)to {mathcal {O}}(X)}$ ${displaystyle f^{*}:{mathcal {O}}(Y)to {mathcal {O}}(X)}$ 。对于仿射概形，此构造给出概形态射 ${displaystyle operatorname {Spec} (A)to operatorname {Spec} (B)}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (A)to operatorname {Spec} (B)}$ 与环同态 ${displaystyle Bto A}$ ${displaystyle Bto A}$ 之间的一一对应。此意义下，概形论包含了交换环论的全部内容。

由于 ${displaystyle mathbb {Z} }$ $mathbb Z$ 是交换环范畴（英语：category of commutative rings）的始对象，概形范畴对应以 ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z} )}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z} )}$ 为终对象。对于交换环 ${displaystyle R}$ $R$ 上的概形 ${displaystyle X}$ $X$ ，所谓 ${displaystyle X}$ $X$ 的 ${displaystyle R}$ $R$ 值点即是态射 ${displaystyle Xto operatorname {Spec} (R)}$ ${displaystyle Xto operatorname {Spec} (R)}$ 的截面（英语：section (category theory)），全体 ${displaystyle R}$ $R$ 值点的集合记作 ${displaystyle X(R)}$ ${displaystyle X(R)}$ ，其对应的古典概念是定义 ${displaystyle X}$ $X$ 的方程组在 ${displaystyle R}$ $R$ 中的解集。若 ${displaystyle R}$ $R$ 实为域 ${displaystyle k}$ $k$ ，则 ${displaystyle X(k)}$ $X(k)$ 亦称为 ${displaystyle X}$ $X$ 的 ${displaystyle k}$ $k$ -有理点（英语：rational point）集。

推而广之，设有交换环 ${displaystyle R}$ $R$ ，其上有概形 ${displaystyle X}$ $X$ 和交换代数 ${displaystyle S}$ $S$ ，则 ${displaystyle X}$ $X$ 的 ${displaystyle S}$ $S$ 值点定义为 ${displaystyle R}$ $R$ 之上的态射 ${displaystyle operatorname {Spec} (S)to X}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (S)to X}$ （该态射需要与射向 ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ 的态射组成交换图表）， ${displaystyle S}$ $S$ 值点的集合记作 ${displaystyle X(S)}$ ${displaystyle X(S)}$ 。（类比到方程组的情况，相当于将某个域 ${displaystyle k}$ $k$ 扩张成 ${displaystyle E}$ $E$ ，再考虑 ${displaystyle E}$ $E$ 中的解集。）固定 ${displaystyle R}$ $R$ 及其上的概形 ${displaystyle X}$ $X$ 时，映射 ${displaystyle Smapsto X(S)}$ ${displaystyle Smapsto X(S)}$ 为自交换 ${displaystyle R}$ $R$ 代数范畴至集合范畴的函子。 ${displaystyle R}$ $R$ 上的概形 ${displaystyle X}$ $X$ 可从此点函子（英语：functor of points）确定。

概形的纤维积（英语：fiber product of schemes）总存在：对任意两态射 ${displaystyle Xto Y,Zto Y}$ ${displaystyle Xto Y,Zto Y}$ ，皆可在概形范畴内找到纤维积 ${displaystyle Xtimes _{Y}Z}$ ${displaystyle Xtimes _{Y}Z}$ （即范畴学拉回）。若 ${displaystyle X,Z}$ ${displaystyle X,Z}$ 为域 ${displaystyle k}$ $k$ 上的概形，则两者在 ${displaystyle operatorname {Spec} (k)}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (k)}$ 上的纤维积可以视为 ${displaystyle k}$ $k$ -概形范畴中的积，例如仿射空间 ${displaystyle mathbb {A} ^{m}}$ ${displaystyle mathbb {A} ^{m}}$ 与 ${displaystyle mathbb {A} ^{n}}$ ${displaystyle mathbb {A} ^{n}}$ 在 ${displaystyle k}$ $k$ 上之积正是 ${displaystyle mathbb {A} ^{m+n}}$ ${displaystyle mathbb {A} ^{m+n}}$ 。

由于概形范畴既有纤维积，又有终对象 ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z} )}$ ${displaystyle operatorname {Spec} (mathbb {Z} )}$ ，其有齐全部有限极限。

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”（法语：préschéma，英语：prescheme），1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

${displaystyle quad I={xin prod _{n=1}^{infty }k:{nin mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0}in {mathcal {F}}},}$ ${displaystyle quad I={xin prod _{n=1}^{infty }k:{nin mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0}in {mathcal {F}}},}$

特别地，正整数 ${displaystyle n}$ $n$ 对应的主超滤子，对应的质理想是 ${displaystyle {x:x_{n}=0}}$ ${displaystyle {x:x_{n}=0}}$ 。本例仿射概形为零维空间，故而每点自成一个既约分支（英语：irreducible component）。由于仿射概形皆拟紧，本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。（诺特概形（英语：Noetherian scheme）则与之相对，衹有有限多个既约分支。）

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