韦伯分布

威布尔分布（Weibull distribution）是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

例如，可以使用此分布回答以下问题：

预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？

预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？

1. 1927年，Fréchet (1927)首先给出这一分布的定义。

2. 1933年，Rosin和Rammler在研究碎末的分布时，第一次应用了威布尔分布（Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.）。

3. 1951年，瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull（1887-1979）详细解释了这一分布，于是，该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。

从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：

其中，x是随机变量，λ＞0是比例参数（scale parameter），k＞0是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。如，当k=1，它是指数分布；k=2时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

${\displaystyle E=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{1}{k}\right)}$其中，Г是伽马（gamma）函数。

${\displaystyle Var={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2,}$

${\displaystyle skewness=\frac{2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^3-<!--\; -\; -->3\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{2}{k}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{1}{k}\right)+\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{3}{k}\right)}{{}^{3/2}}}$

${\displaystyle kurtosis=\frac{-<!--\; -\; -->3\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^4+6\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{2}{k}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^2-<!--\; -\; -->4\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{3}{k}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{1}{k}\right)+\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+\frac{4}{k}\right)}{{}^2}}$

研究生产过程和运输时间关系

对接受到的杂波信号的依分布建模

无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布