直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。例子：前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴含了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效的，但如果有前提为假的话结论仍可能是假。三段论形式如下：其中S代表结论的主词（Subject），P代表结论的谓词（Predicate），M代表中词（Middle）。三段论的命题可分为全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，组合起来有以下四类语气（Mood）：三段论中，结论中的谓词称作大词（P，或称大项），包含大词在内的前提称作大前提；结论中的主词称作小词（S，或称小项），包含小词在内的前提称作小前提；没有出现在结论，却在两个前提重复出现的称作中词（M，或称中项）。大词、中词、小词依不同排列方式，可分成四种格（Figure）：将以上整合在一起，三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一，又可分为4格，故总共有256种三段论（若考虑大前提与小前提对调，便有512种，但逻辑上是相同的）。三段论依语气与格的分类缩写，例如AAA-1代表“大前提为A型，小前提为A型，结论为A型，第1格”的三段论。此外，三段论的四种格之间可相互转换：E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成与弱于原命题的I命题。O命题不能对换前后两项的位置。考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。作为文氏图方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用这些规则来检验有效性。基本规则：其他检查：总共有19个有效的论式（算结论弱化的5个论式则为24个有效论式），为便于记忆，中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字，每个名字的元音即是对应的语气，例如Barbara代表AAA。下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。所有M是P. 所有S是M. ∴所有S是P.∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow P(x))qquad forall x(S(x)rightarrow M(x))}{forall x(S(x)rightarrow P(x))}}} 没有M是P. 所有S是M. ∴没有S是P.∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))qquad forall x(S(x)rightarrow M(x))}{forall x(S(x)rightarrow lnot P(x))}}} 所有M是P. 有些S是M. ∴有些S是P.∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow P(x))qquad exists x(S(x)land M(x))}{exists x(S(x)land P(x))}}} 没有M是P. 有些S是M. ∴有些S不是P.∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))qquad exists x(S(x)land M(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 没有P是M. 所有S是M. ∴没有S是P.∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot M(x))}{forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))}}qquad forall x(S(x)rightarrow M(x))}{forall x(S(x)rightarrow lnot P(x))}}} 所有P是M. 没有S是M. ∴没有S是P.∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(P(x)rightarrow M(x))qquad {cfrac {forall x(S(x)rightarrow lnot M(x))}{forall x(M(x)rightarrow lnot S(x))}}}{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot S(x))}{forall x(S(x)rightarrow lnot P(x))}}}} 没有P是M. 有些S是M. ∴某些S不是P.∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot M(x))}{forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))}}qquad exists x(S(x)land M(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 所有P是M. 某些S不是M. ∴某些S不是P.∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( ¬ M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow M(x))}{forall x(lnot M(x)rightarrow lnot P(x))}}qquad exists x(S(x)land lnot M(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 所有M是P. 所有M是S. ∴有些S是P. （这种形式需要假定某些M确实存在。）∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(M(x)rightarrow P(x))qquad forall x(M(x)rightarrow S(x))}{forall x(M(x)rightarrow (P(x)land S(x)))}}qquad exists xM(x)}{exists x(S(x)land P(x))}}} 有些M是P. 所有M是S. ∴有些S是P.∃ x ( M ( x ) ∧ P ( x ) ) ∀ ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {exists x(M(x)land P(x))qquad forall (M(x)rightarrow S(x))}{exists x(S(x)land P(x))}}} 所有M是P. 有些M是S. ∴有些S是P.∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow P(x))qquad exists x(M(x)land S(x))}{exists x(S(x)land P(x))}}} 没有M是P. 所有M是S. ∴有些S不是P. （这种形式需要假定某些M确实存在。）∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( ¬ P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))qquad forall x(M(x)rightarrow S(x))}{forall x(M(x)rightarrow (lnot P(x)land S(x)))}}qquad exists xM(x)}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 某些M不是P. 所有M是S. ∴某些S不是P.∃ x ( M ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ∀ ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {exists x(M(x)land lnot P(x))qquad forall (M(x)rightarrow S(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 没有M是P. 有些M是S. ∴某些S不是P.∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))qquad exists x(M(x)land S(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。所有P是M. 所有M是S. ∴有些S是P. （这种形式需要假定某些P确实存在）∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → S ( x ) ) ∃ x P ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow M(x))qquad forall x(M(x)rightarrow S(x))}{forall x(P(x)rightarrow S(x))}}qquad exists xP(x)}{exists x(S(x)land P(x))}}} 所有P是M. 没有M是S. ∴没有S是P.∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {forall x(P(x)rightarrow M(x))qquad forall x(M(x)rightarrow lnot S(x))}{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot S(x))}{forall x(S(x)rightarrow lnot P(x))}}}} 有些P是M. 所有M是S. ∴有些S是P.∃ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) →   S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {exists x(P(x)land M(x))qquad forall x(M(x)rightarrow S(x))}{exists x(S(x)land P(x))}}}没有P是M. 所有M是S. ∴有些S不是P. （这种形式需要假定某些M确实存在）∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( ¬ P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot M(x))}{forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))}}qquad forall x(M(x)rightarrow S(x))}{forall x(M(x)rightarrow (lnot P(x)land S(x)))}}qquad exists xM(x)}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}} 没有P是M. 有些M是S. ∴有些S不是P.∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {displaystyle {cfrac {{cfrac {forall x(P(x)rightarrow lnot M(x))}{forall x(M(x)rightarrow lnot P(x))}}qquad exists x(M(x)land S(x))}{exists x(S(x)land lnot P(x))}}}在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是： AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一。IE的组合都得出P不包含于S结论，不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上，所以是可直接推出结论。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含于P的关系；第4格AA组合推论出P包含于S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置，EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出 P不包含于S的结论，不属于四种命题之一。其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的，它没有等价者。AOO-2没有等价者，这里对A命题采用了否定后件推理，历史上采用反证法，假定结论O命题不成立，它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果，所以结论成立。历史上，对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它们的拉丁语名字中的p所指示的，通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。最后，有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效论式中。下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线标示。