费马原理

费马原理（Fermat principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。 最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。费马原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。光从P点出发射向x点，反射到Q点。P 点到 x点的距离 d 1 = x 2 + a 2 {displaystyle d1={sqrt {x^{2}+a^{2}}}}Q 点 到 x 点的距离 d 2 = b 2 + ( l − x ) 2 {displaystyle d2={sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}从点P到点Q的光程 D 为根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。取光程 D {displaystyle D} 对 x {displaystyle x} 的导数，令其为零：但其中− l − x b 2 + ( l − x ) 2 = − sin ⁡ θ 2 {displaystyle -{frac {l-x}{sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-sin theta _{2}} 。即这就是反射定律设l =30图示反射光程随 X 的变化，当x= 15 时，显然光程最短。球面的半径=R光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P光程 D = y 2 + ( R + x ) 2 + y 2 + ( − x + R ) 2 {displaystyle D={sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}因 y 2 = R 2 − x 2 {displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}} ;所以D = 2 R 2 + 2 x R + − 2 x R + 2 R 2 {displaystyle D={sqrt {2R^{2}+2xR}}+{sqrt {-2xR+2R^{2}}}}根据费马原理， D'=0D ′ = R 2 R 2 + 2 x R − R − 2 x R + 2 R 2 = 0 {displaystyle D'={frac {R}{sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{frac {R}{sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}解之， 得 x = 0 {displaystyle x=0} ，代入D得到：光程 D = 2 2 R {displaystyle D=2{sqrt {2}}R} ，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）如右图所示，设定介质１、介质２的折射率分别为 n 1 {displaystyle n_{1}} 、 n 2 {displaystyle n_{2}} ，光线从介质１在点Ｏ传播进入介质２，则斯涅尔定律以方程表达为其中， θ 1 {displaystyle theta _{1}} 为入射角， θ 2 {displaystyle theta _{2}} 为折射角。从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。光线在介质１与介质２的速度 v 1 {displaystyle v_{1}} 和 v 2 {displaystyle v_{2}} 分别为其中， c {displaystyle c} 是真空光速。由于介质会减缓光线的速度，折射率 n 1 {displaystyle n_{1}} 和 n 2 {displaystyle n_{2}} 都大于 1 {displaystyle 1} 。从点Q到点P的传播时间 T {displaystyle T} 为根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 T {displaystyle T} 对 x {displaystyle x} 的导数，设定其为零：其中 x x 2 + a 2 = sin ⁡ θ 1 {displaystyle {frac {x}{sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=sin theta _{1}}( l − x ) ( l − x ) 2 + b 2 = sin ⁡ θ 2 {displaystyle {frac {(l-x)}{sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=sin theta _{2}}因此得到传播速度与折射角的关系式：将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。