中心流形

✍ dations ◷ 2025-07-30 00:18:05 #动力系统

中心流形(center manifold)是动力系统数学理论的一部分,最早是用此概念来判断退化平衡点的稳定性。之后这个概念成为数学模型的建构基础。

若将球往上抛。可根据牛顿运动定律预测球的运动,方式是求解有其位置以及速度的微分方程,但在球反弹(英语:Bouncing ball)时的行为就无法用牛顿运动定律来描述。在球反弹时,球会有形变,就无法用牛顿运动定律来预测系统的演进,需要用连续介质力学来描述组成球的所有粒子在形变前后的行为。在反弹后,球的形变会快速消失,球继续依循牛顿运动定律。若将球视为是由许多互相影响的成分所组成的系统,牛顿运动定律对球的描述,只以位置、速度及旋转方式呈现,即为变形球的中心流形。若有一系统是由许多互相影响成分所组成,而其影响效应会快速衰减,可以用中心流形,以较简单的方式来描述系统。

中心流形在分岔理论中有重要的地位,因为系统在中心流形的位置会出现特殊的行为,在多尺度物理学(英语:multiscale mathematics)中也很重要,微尺度的长时间动态常常会受到相对简单、变数尺度较大的中心流形吸引。

动力系统的中心流形是以系统的平衡点为基础,以球为例,就是球静止,没有变形的状态。平衡点的中心流形包括了邻近的轨迹(英语:Orbit (dynamics))中,没有快速指数衰减,也没有快速指数增长的的轨迹。若以球来说,中心流形中包括了球的移动及自旋运动,但不包括球的形变(因为形变会由于阻尼力而快速衰减)。

在数学上,研究动力系统平衡点的第一步是线性化,之后计算其特征值和特征向量。其对应特征值有负实数的特征向量(若有广义特征向量(英语:generalized eigenvectors)的话,也包括在内)可以组成基的特征空间。对应特征值有正实数的(广义)特征向量可以组成不稳定的特征空间。若平衡点为双曲平衡点(英语:hyperbolic equilibrium point)(所有线性化后的特征值,实部都不为0)。Hartman-Grobman定理(英语:Hartman-Grobman theorem)可以保证在平衡点附近的动态可以完全用特征值及特征向量来描述。

若平衡点的特征值中,有特征值的实部是零,则是对应的(广义)特征向量会组成“中心特征空间”,以球为例,就是球在不受力下刚体动力学的整个集合。若不只考虑线性化后的系统,将动力系统加上非线性或是外力的微扰,中心特征空间会变形到邻近的中心流形。若特征值不只是实部为零,而是特征值的复数值为零(如球的例子),对应的特征空间可以更准确的对应慢流形(英语:slow manifold)。中心(慢)流形的行为无法由线性化来判定,因此不容易建构。

类似的道理,在稳定特征空间或不稳定特征空间加上非线性或是外力的微扰,会让系统变形到邻近的稳定流形或不稳定流形。这三种流形是不变流形(英语:Invariant manifold)中的三类例子。

d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})} 为实数的常。可以推得针对任意的,可以创建中心流形,方式是将 y = A e 1 / x {\displaystyle y=Ae^{-1/x}}  > 0的部分,和为非正值的X轴连接。而且,所有的中心流形都有潜在的非唯一性,不过非唯一性只会发生在变数为复数的情形下。

另一个例子可以用中心流形来为霍普夫分岔建模,霍普夫分岔是发生在以下的时滞微分方程

参数 a 4 {\displaystyle a\approx 4} 的情形。严格来说,因为有时滞,微分方程会变成无限维。不过可以用以下的方式来近似时滞,让系统仍为有限维度。

定义 u 1 ( t ) = x ( t ) {\displaystyle u_{1}(t)=x(t)} 以及适当的时滞变数 x ( t 1 ) u 3 ( t ) {\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)} ,利用其中间值 d u 2 / d t = 2 ( u 1 u 2 ) {\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})} d u 3 / d t = 2 ( u 2 u 3 ) {\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})} .

在接近临界值的参数 a = 4 + α {\displaystyle a=4+\alpha } ,时滞微分方程可以用以下系统来近似

透过网页服务,可以找到相量 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 以及其共轭 s ¯ ( t ) {\displaystyle {\bar {s}}(t)} ,中心流形为

中心流形的演进为

从此演进可以看出,系统在 α > 0   ( a > 4 ) {\displaystyle \alpha >0\ (a>4)} 时,在原点是线性的不稳定,但三次非线性使其有稳定的极限环,就像经典霍普夫分岔的结果一样。

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