中心流形

中心流形（center manifold）是动力系统数学理论的一部分，最早是用此概念来判断退化平衡点的稳定性。之后这个概念成为数学模型的建构基础。

若将球往上抛。可根据牛顿运动定律预测球的运动，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在球反弹（英语：Bouncing ball）时的行为就无法用牛顿运动定律来描述。在球反弹时，球会有形变，就无法用牛顿运动定律来预测系统的演进，需要用连续介质力学来描述组成球的所有粒子在形变前后的行为。在反弹后，球的形变会快速消失，球继续依循牛顿运动定律。若将球视为是由许多互相影响的成分所组成的系统，牛顿运动定律对球的描述，只以位置、速度及旋转方式呈现，即为变形球的中心流形。若有一系统是由许多互相影响成分所组成，而其影响效应会快速衰减，可以用中心流形，以较简单的方式来描述系统。

中心流形在分岔理论中有重要的地位，因为系统在中心流形的位置会出现特殊的行为，在多尺度物理学（英语：multiscale mathematics）中也很重要，微尺度的长时间动态常常会受到相对简单、变数尺度较大的中心流形吸引。

动力系统的中心流形是以系统的平衡点为基础，以球为例，就是球静止，没有变形的状态。平衡点的中心流形包括了邻近的轨迹（英语：Orbit (dynamics)）中，没有快速指数衰减，也没有快速指数增长的的轨迹。若以球来说，中心流形中包括了球的移动及自旋运动，但不包括球的形变（因为形变会由于阻尼力而快速衰减）。

在数学上，研究动力系统平衡点的第一步是线性化，之后计算其特征值和特征向量。其对应特征值有负实数的特征向量（若有广义特征向量（英语：generalized eigenvectors）的话，也包括在内）可以组成基的特征空间。对应特征值有正实数的（广义）特征向量可以组成不稳定的特征空间。若平衡点为双曲平衡点（英语：hyperbolic equilibrium point）（所有线性化后的特征值，实部都不为0）。Hartman-Grobman定理（英语：Hartman-Grobman theorem）可以保证在平衡点附近的动态可以完全用特征值及特征向量来描述。

若平衡点的特征值中，有特征值的实部是零，则是对应的（广义）特征向量会组成“中心特征空间”，以球为例，就是球在不受力下刚体动力学的整个集合。若不只考虑线性化后的系统，将动力系统加上非线性或是外力的微扰，中心特征空间会变形到邻近的中心流形。若特征值不只是实部为零，而是特征值的复数值为零（如球的例子），对应的特征空间可以更准确的对应慢流形（英语：slow manifold）。中心（慢）流形的行为无法由线性化来判定，因此不容易建构。

类似的道理，在稳定特征空间或不稳定特征空间加上非线性或是外力的微扰，会让系统变形到邻近的稳定流形或不稳定流形。这三种流形是不变流形（英语：Invariant manifold）中的三类例子。

令${\displaystyle \frac{d\mathbf{\text{x}}}{dt}=\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}})}$为实数的常。可以推得针对任意的，可以创建中心流形，方式是将${\displaystyle y=A{e}^{-<!--\; -\; -->1/x}}$ > 0的部分，和为非正值的X轴连接。而且，所有的中心流形都有潜在的非唯一性，不过非唯一性只会发生在变数为复数的情形下。

另一个例子可以用中心流形来为霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是发生在以下的时滞微分方程

参数${\displaystyle a\approx <!--\; \approx \; -->4}$的情形。严格来说，因为有时滞，微分方程会变成无限维。不过可以用以下的方式来近似时滞，让系统仍为有限维度。

定义${\displaystyle u_1(t)=x(t)}$以及适当的时滞变数${\displaystyle x(t-<!--\; -\; -->1)\approx <!--\; \approx \; -->u_3(t)}$，利用其中间值${\displaystyle d{u}_2/dt=2(u_1-<!--\; -\; -->u_2)}$及${\displaystyle d{u}_3/dt=2(u_2-<!--\; -\; -->u_3)}$.

在接近临界值的参数${\displaystyle a=4+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，时滞微分方程可以用以下系统来近似

透过网页服务，可以找到相量${\displaystyle s(t)}$ 以及其共轭${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{s}(t)}$，中心流形为

中心流形的演进为

从此演进可以看出，系统在${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0(a>4)}$时，在原点是线性的不稳定，但三次非线性使其有稳定的极限环，就像经典霍普夫分岔的结果一样。