定常系统

在经典力学里，如果一个系统的所有约束都是定常约束（scleronomous constraint），则称此系统为定常系统（scleronomous system）。定常约束显性地不含时间。假若约束显性地含时间，则称此约束为非定常约束。

在三维空间里，一个质量为${\displaystyle m}$、速度为${\displaystyle \mathbf{v}}$的粒子的动能是

速度是位置${\displaystyle \mathbf{r}}$对于时间${\displaystyle t}$的导数。应用偏微分连锁律，可以得到

其中，${\displaystyle q_i}$是第${\displaystyle i}$个广义坐标，${\displaystyle {\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i}$是对应的广义速度。

所以，

将方程展开，动能可以分为三个项目表示：

其中，

${\displaystyle T_0}$、${\displaystyle T_1}$、${\displaystyle T_2}$分别为广义速度${\displaystyle {\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i}$的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间，${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{r}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0}$，则只有${\displaystyle T_2}$不等于零。所以，${\displaystyle T=T_2}$，动能是广义速度的2次齐次函数。

如右图所示，单摆是由一个摆锤与一条绳子组成的简单机械；绳子的上端固定，下端系着摆锤。由于这绳子是无法伸缩的，绳子的长度是常数。所以，这系统是定常系统；它遵守定常约束

其中，${\displaystyle (x,y)}$是摆锤的位置，${\displaystyle L}$是摆长。

参考右图，假设一个单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动：

这里，${\displaystyle x_0}$是振幅，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是角频率，${\displaystyle t}$是时间。

由于无法伸缩绳子的长度是常数，摆锤与绳子上端的直线距离保持不变。但是，因为单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动，这个受驱摆系统是非定常系统；它遵守非定常约束