唯一素数

✍ dations ◷ 2025-01-31 20:11:11 #素数

唯一素数（Unique prime）是指一个不为2, 5，有以下性质的素数：不存在其他素数，其倒数1 / 的循环节长度和1 / 的循环节长度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates提出。

可以证明素数其倒数的循环节长度为当且仅当存在一自然数使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：

其中Φ()为n次的分圆多项式。至2010年为止，已经找到逾50个唯一素数或者有此性质的可能素数（英语：probable prime），但是小于10100的唯一素数只有23个。以下是这些唯一素数（OEIS中的数列A040017）及其循环节位数（OEIS中的数列A051627）：

倒数循环节长度294位的唯一素数类似7的倒数（0.142857142857142857...）。

接续上表的第24个唯一素数有128位，倒数循环节长度为320位，可以写成(9₃₂0₃₂)₂+1，其中下标表示前面的一个数字或一组数字会重复出现次。

所有循环单位素数都是唯一素数。依照循环单位素数及循环单位可能素数出现的频率来看，唯一素数非常的少见，不过数学家们仍强烈推论有无穷多个唯一素数。

至2010年为止，循环单位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数。

至1996年为止，确定是素数的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示为(99990000)₁₄₁+ 1，其倒数循环节长度为为2264位，后来陆续证明更大的唯一素数，至2010年为止，确定是素数的最大唯一素数有10081位数。

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... （OEIS中的数列A144755）：

其循环节长度分别为：2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......（OEIS中的数列A161508）：

这当中包含了所有费马素数(循环节长度为2的乘方)，梅森素数(循环节长度为素数)及瓦格斯塔夫素数(循环节长度为奇素数的两倍)

以下为不超过264之二进制唯一素数列表：

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