终端速度

在流体动力学中，当物体在流体中运动时，在流体向物体运动反方向所施的力下，物体的运动速度因而不变，这时物体所移动的速度就是终端速度。当向下的重力（Fg）相等于向上的阻力（Fd）时，自由落体中的物体会达到终端速度。此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变。当物体加速的时候（一般是因为重力而向下加速），施向物体的抗力也在增加，使得加速度慢下来。在某一个速度下，所产生的抗力会相等于物体的重量（ m g {displaystyle mg} ）。这时候物体停止加速，并持续以不变的速度下落，这个速度就是终端速度（也叫沉降速度）。终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。更大的抗力代表较低的终端速度，而更大的重量则代表较高的终端速度。若一向下移动物体的速度大于终端速度（比方说它受一向下的力影响，或它掉进了较薄的大气层区域，或它的形状改变），它的速度会慢下来，直至达到终端速度为止。举例说，基于风阻，一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员，其终端速度约为195km/h（55m/s）。这个速度是整个加速过程的渐近极限值，因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中，愈来愈接近互相平衡的状态。在这个例子中，要达到终端速度的50%只需要3秒，达到90%则需要8秒，而达到99%就需要15秒，如此类推。如果跳伞员把四肢拉起来的话，终端速度会提高。在这个例子中，终端速度会提升至320km/h（90m/s），几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度；一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面，又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告 。竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度，2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下，速度为988km/h，当时位于海拔较高的地方，因此大气层较为稀薄，空气阻力较小 。菲利克斯·保加拿为了打破此纪录，在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下，最高时速高达1357.6km/h，是目前的世界纪录保持人。一向着地球表面下坠物体的速度，每秒钟会增加每秒钟9.806米（即加速度为9.806m‧s-2）。物体会达到终端速度的原因是，阻力的大小与速度的平方成正比。在低速时，阻力比重力要小得多，所以物体加速。当物体在加速时，阻力增加，直至与重量相等。阻力同时亦取决于投影面积。就是因为这个原因，相对于质量有着大投影面积的物体，如降落伞，比其他这方面小的物体，如子弹，有着更低的终端速度。数学上，无视浮力的终端速度可用下式表示：其中数学上，一物体渐近地到达终端速度。由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应，可用阿基米德定律来描述：质量 m {displaystyle m} 必须减去所排开的流体质量 ρ V {displaystyle rho {mathcal {V}}} ，其中 V {displaystyle {mathcal {V}}} 为物体的体积。所以不使用 m {displaystyle m} ，在各方程中改用约化质量 m r = m − ρ V {displaystyle m_{r}=m-rho {mathcal {V}}} 。在地球上，一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。空气密度随着海拔减少而增加，海拔每减少80米，密度就增加约1%（使用气压公式）。若物体下降时穿越大气层，每下降160米，终端速度就会减少1%。当物点达到所处点的终端速度后，若持续下降，则物体会因为新位置的终端速度而减速。数学上，把向下定义为正方向，物体在接地球表面落下是所受的合力Fnet为（根据牛顿第二运动定律）：其中： a为加速度， FD为阻力。根据阻力公式：将上两式结合可得在平衡时，合力为零（F=0）：解v可得，阻力方程为取'k = 1⁄2ρACd，此时方程的形式较为实用。两边一起除以m得整理方程得取两边积分得其中α = ( k⁄mg )1⁄2.积分后，得或简化形式反双曲正切函数（arctanh）的定义为:故方程解的积分为上式可简化成其中tanh为双曲正切函数。设g为正数（它的定义确实是正数），然后把α的值代入，得代入k = 1⁄2ρACd，得v所需的形式当时间趋向无限（t → ∞），双曲正切趋向1，得终端速度能量守恒方程为分离v得到当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞ ， 故以上式子取极限得当考虑浮力效应时，因自身质量而在流体中下沉的物体，若其合力为零，就会达到终端速度（沉降速度）。当达到终端速度时，物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。即：其中若下沉的物体是球状的，则三种力的表示式如下：其中将方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解 V t {displaystyle V_{t}} 的值，得下式：对流体内非常慢的运动而言，相对于其他力，流体的惯性力是无关重要的（假设流体无质量）。这样的流被称为蠕流，而蠕流需要满足雷诺数 R e ≪ 1 {displaystyle Rell 1} 的条件。蠕流的运动方程（简化后的纳维-斯托克斯方程）如下：其中：流过球体的蠕流解析解最早由乔治·斯托克斯于1851年提出。从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力其中雷诺数 R e = ρ d V μ {displaystyle Re={tfrac {rho dV}{mu }}} 。方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律。把 C d {displaystyle C_{d}} 的值代入至方程(5)，可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式：蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降，及大气层中下降的水滴。其原理被应用于落球式黏度计，一种量度高黏度流体黏度的实验装置。